双曲线中重要结论的灵活应用
反比例函数的图象��双曲线上的点的横坐标与纵坐标的乘积为一恒定值，这是反比例函数的一个重要性质。所以，围绕此性质的各种形式的考题层出不穷。但无论形式如何变化，其解题方法是有律可循的。例1. 如图1所示，过函数
（k是常数，k>0，x>0）的图象上两点A、B，分别作AC垂直x轴于C，BD垂直x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（）
A.
B.
C.
D. S1和S2的大小无法确定
图1
分析：设点A的坐标为
，点B的坐标为（
），根据题意可得：
。因为点A和点B在函数
的图象上，所以有
。因此有
，答案选B。
总结：从上面的解题过程可以看出，这两个三角形的面积是相等的。进而我们得出一个一般结论：过双曲线
上的任意一点作任意一个坐标轴的垂线，这点和垂足及坐标原点所构成的直角三角形的面积都等于
。有了这个结论后，利用它就能轻易解决其他与之相关的题目了。
例2. 如图2所示，
是函数
的图象在第一象限分支上的三个点，且
。过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为
，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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图2
分析：利用上面的结论可得这三个矩形的面积都是相应直角三角形面积的2倍，等于1，所以答案选D。
例3. 如图3所示，P是反比例函数图象在第二象限分支上的一点，且矩形PEOF的面积为3。则反比例函数的表达式是_____________。
/collect/20160727/192Q421E-22.gif
图3
分析：根据例2可知矩形PEOF的面积等于|k|，所以有|k|=3，故
/collect/20160727/192Q42351-23.gif
。因为反比例函数图象在第二、四象限，所以
/collect/20160727/192Q41153-24.gif
，故函数表达式为
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。
例4. 如图4所示，正比例函数
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与反比例函数
的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，CD垂直x轴于D，则四边形ABCD的面积为（）
A. 1 B.
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C. 2 D.
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图4
分析：根据双曲线的对称性可得四边形ABCD是平行四边形。因此它的面积是△AOB面积的4倍。因此，四边形ABCD的面积为
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，所以答案选C。
总结：数形结合是一种重要的数学思想。解此类题，只要掌握“反比例函数图象上任一点的横、纵坐标之积为一定值”这一基本性质，问题就迎刃而解了。
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