用整体思想法解数学题
例1 分解因式分析：若把两个二次三项式
与
相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。但若把
（或
）视为一个整体，即把
看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
解：设
，则
原式
再将
代入上式
原式
说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
例2 解方程
解：设
，则原方程可变为
解得
，
当
时，解得
；当
时无解
经检验，
是原方程的解。
说明：本题是把
看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。
例3 计算
/collect/20160727/14114B635-22.gif
/collect/20160727/1411461T7-23.gif
解：设
/collect/20160727/14114B234-24.gif
，则
原式
/collect/20160727/14114641c-25.gif
/collect/20160727/14114CR8-26.gif
说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。
例4 已知
/collect/20160727/1411461163-27.gif
和
/collect/20160727/14114BX2-28.gif
成正比例（其中m、n是常数）
（1）求证：y是x的一次函数；
（2）如果
/collect/20160727/14114AU3-29.gif
时，
/collect/20160727/1411463P8-30.gif
；
/collect/20160727/14114B554-31.gif
时，
/collect/20160727/1411464537-32.gif
，求这个函数的解析式。
解：（1）因
/collect/20160727/1411461163-27.gif
与
/collect/20160727/14114BX2-28.gif
成正比例，故可设
/collect/20160727/1411461B9-35.gif
整理可得
/collect/20160727/14114620a-36.gif
因
/collect/20160727/14114613Q-37.gif
，
/collect/20160727/14114642N-38.gif
、
/collect/20160727/14114633R-39.gif
为常数，所以y是x的一次函数。
（2）由题意可得方程组
/collect/20160727/1411464209-40.gif
解得
/collect/20160727/14114C243-41.gif
，
/collect/20160727/14114A5I-42.gif
.
故所求的函数解析式为
/collect/20160727/1411464053-43.gif
。
说明：在解方程组时，单独解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。故将
/collect/20160727/14114B222-44.gif
看成一个整体求解，从而求得函数解析式。
例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决。
解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元。
依题意，得
/collect/20160727/14114BG8-45.gif
，即
/collect/20160727/14114645S-46.gif
解关于
/collect/20160727/14114C645-47.gif
，
/collect/20160727/14114AM2-48.gif
的二元一次方程组，可得
/collect/20160727/1411461346-49.gif
（元）
答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。
说明：由于我们所感兴趣的不是x、y、z的值，而是
/collect/20160727/14114AM2-48.gif
这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果。
练习：
1. 分解因式
/collect/20160727/14114642Z-51.gif
。
2. 解方程
/collect/20160727/1411463H6-52.gif
。
3. 设y与x的函数关系式为
/collect/20160727/1411461C4-53.gif
（k、a、b为常数），且
/collect/20160727/14114AY0-54.gif
时，y=19，x=3时，y=20。求此函数的解析式。
4. 已知
/collect/20160727/1411463133-55.gif
，求代数式
/collect/20160727/1411462108-56.gif
的值。
5. 一个四位数，其首位上的数字为1，若把首位移作末位，则新的四位数是原数的4倍还多1995，试求原来的四位数。
6. 甲、乙两人相距100km，两人同时出发，相向而行，甲每小时走6km，乙每小时走4km；甲带的一只狗，同甲一起出发，每小时走10km，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，如此连续往返，到甲、乙两人相遇时，这只狗一共走了多少千米？
7. 有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可运货15.5t，5辆大车和6辆小车一次可运货35t，求3辆大车和5辆小车一次可运货多少吨。
参考答案及提示：
1.
/collect/20160727/1411462131-57.gif
2.
/collect/20160727/14114B096-58.gif
，
/collect/20160727/14114B608-59.gif
。
3.
/collect/20160727/14114625T-60.gif
4. 5
5. 设原来的四位数去掉首位的后三位数为x，则原来的四位数可表示为
/collect/20160727/1411462X6-61.gif
，新四位数可表示为
/collect/20160727/14114AM7-62.gif
，由题意得
/collect/20160727/14114625Z-63.gif
，解得x=999，故原来的四位数为1999。
6. 由出发时起，直到甲、乙相遇为止，小狗以每小时10km的速度跑了
/collect/20160727/14114AZ3-64.gif
，因此小狗一共走了
/collect/20160727/14114635C-65.gif
的路。
7. 设1辆大车与1辆小车一次可以各运xt、yt，则有
/collect/20160727/1411463264-66.gif
/collect/20160727/14114615Y-67.gif
，得
/collect/20160727/14114B4Y-68.gif
，即有
/collect/20160727/14114BG0-69.gif
即3辆大车和5辆小车一次可运货24.5t。
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