怎样求重叠部分的面积
例1. 如图1，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？
图1
解：由正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形
设
，则
，根据勾股定理，
变题：如图2，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形
，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？
图2
分析：将原题中的30°变成60°后，原来的解题方法已经不能再用了，那就要另外想办法了。
仍然要连结AE，
，只要求出
，问题就解决了。所以，本题的关键就是求出
的长。
解：连结AE，作EF∥AD
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形
∵EF∥AD
∴∠1＝∠4
∴∠1＝∠2
∴EF＝AF
设
，则
根据勾股定理，
即
例2. 如图3，正方形ABCD的面积为S，对角线相交于点O，点O是正方形
的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形
绕点O转动时，
图3
（1）求两个正方形重叠部分的面积。
（2）如果正方形
的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积等于多少？与上述结论是否一致？
（3）将正方形
改为
，只要满足什么条件，重叠部分的面积不变？
（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形
绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，问扇形
应满足什么条件？并且说明你的理由。
（1）解：∵ABCD为正方形
∴OA＝OB，AC⊥BD
∠1＝∠2＝45°
∠3＋∠BOE＝90°
∵
是正方形
∴∠BOE＋∠4＝90°
∴∠3＝∠4
∴△AOE≌△BOF
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∴两个正方形重叠部分的面积
/collect/20160727/1350055438-30.gif
（2）如果正方形
的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积仍然等于
/collect/20160727/1350052493-32.gif
与上述结论一致。因为求解的过程没有任何改变。
（3）将正方形
变为
，只要满足
/collect/20160727/13500541S-35.gif
，并且
/collect/20160727/1350053048-36.gif
与正方形ABCD没有交点，那么求重叠部分的面积的方法与上面的方法一样，所以重叠部分的面积不改变。
（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形
绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，扇形
应满足的条件是：
/collect/20160727/135005Gb-39.gif
，且
/collect/20160727/1350051411-40.gif
类似上面的方法，容易证明△BOE≌△COF（如图4）。
所以重叠部分的面积
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，而且保持不变。
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图4
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