中学趣味数学：两枚还是三枚
有一种硬币游戏，其规则是：（1）有一堆硬币，共十二枚。
（2）双方轮流从中取走两枚或三枚硬币。
（3）谁取最后一枚硬币谁输。
Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏，阿曼德开局，比福德随后。
Ⅱ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤；如果无法取胜，就尽可能采取能导致和局的步骤。
这两人中是否必定会有一人赢？如果这样，谁会赢？
（提示：首先判定当只有一枚硬币要你取的时候，你是处于稳操胜券的地位，还是处于注定要输，或者导致和局的地位；然后，判定当只有两枚硬币要你取的时候，你是处于稳操胜券的地位，还是处于注定要输，或者导致和局的地位；如此进行，直至判定有十二枚硬币要你取的情况。）
答 案
根据{Ⅱ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤；如果无法取胜，就尽可能采取能导致和局的步骤。}，如果有一方能够取胜，那他一定要取胜。如果一方能够逼和（假定他不能取胜），那他一定要逼和。
根据(2）和(3）：
（a）当这堆硬币中只有一枚硬币要取的时候、显然游戏只能以和局告终，因为谁也不能取。
（b）当这堆硬币中有两枚硬币要取的时候，取者必输。这是因为他必须取走这两枚硬币。
（c）当这堆硬币中有三枚硬币要取的时候，取者只能采取逼和的策略。这是因为如果他一下子把三枚硬币全都取走，那他就输了；于是他只取走两枚硬币，这样对方就不能取了。
（d）当这堆硬币中有四枚硬币要取的时候，取者可以取走两枚硬币从而获胜，因为这样就使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。如果他取走三枚硬币游戏就以和局告终。
（e)当这堆硬币中有五枚硬币要取的时候，如果取者能够留下一定枚数的硬币从而使对方陷于必败的境地，那他就赢了。因此，他取走了三枚硬币，使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。
(f）当这堆硬币中有六枚硬币要取的时候，取者只能采取逼和的策略。他可以取走三枚硬币，这就造成了有三枚硬币要取的必和局面。如果他只取走两枚硬币，就把有四枚硬币要取的必胜机会留给了对方。
按照这样的推理，我们可以发现，当这堆硬币中有两枚、七枚或十二枚硬币要取的时候，取者注定要输；当这堆硬币中有四枚、五枚、九枚或十枚硬币要取的时候，取者稳操胜券；这堆硬币中有一枚、三枚、六枚、八枚或十一枚硬币要取的时候，游戏必以和局告终。
下列三表总结了这三类情况分别是怎样注定导致失败、怎样稳步走向胜利和怎样以和局告终的。
注定要输的局面
如果一方取走
他留给对方的必胜机会
2
2
0
7
12
稳操胜券的局面
如果一方取走
他使对方陷入的必败境地
4
2
2
5
3
2
9
2
7
10
3
7
只能逼和的局面
如果一方取走
他造成的必和局面
1
-
1
3
2
1
6
3
3
8
2
6
11
3
8
根据{（1）有一堆硬币，共十二枚。}，开始时有十二枚硬币。由于十二枚硬币是注定要输的局面，谁开局谁必输。根据{Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏，阿曼德开局，比福德随后。}，是阿曼德开局，故阿曼德必输。因此比福德必赢。
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