中考数学复习周计划：一元二次方程根的判别式
0
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；
解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ9
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明： Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
=4m2-4(m4+5m2+4)
=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
=-4(m2+2)2
∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,
∴ -4(m2+2)20时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
证明：整理原方程：
方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.
整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0
(c+b)x2-2ax +cm-bm=0
根据题意：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
ma2-c2m+b2m=0
∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
又∵ m>0, ∴a2+b2-c2=0 ∴a2+b2=c2 又∵a,b,c为ΔABC的三边， ∴ΔABC为RtΔ。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;
（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;
分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0
解：（1）令16a2+ka+1=0
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=k2-4×16×25=0
∴k=+40或者-40
（2）令ka2+4a+15=0
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0∴k=4
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点
例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？
解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0
，∵抛物线与直线只有一个交点，
∴Δ＝0，即 4m+5=0 ∴
(说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点
分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点（１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
①当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
②当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。
③当 时，抛物线与x轴没有交点。
例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
（１） （２） （３）
解：（１）Δ＝16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。
（２）Δ＝36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。
（３）Δ＝4-16=-120，即 – 4m+8>0 ∴m2
∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
分析:抛物线 （Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。
解：令y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则 由 得，即。进而得 ∴a=或a=。 ∴当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。
" />
新东方中考网精彩推荐：
页:
[1]