第八讲 根与系数的关系及应用
如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．
1．已知一个根，求另一个根
利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．
例1 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．
解 先求出a，b．
由观察知，1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根，于是由韦达
又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．
所以a-b=1-(-1999)=2000．
例2 设a是给定的非零实数，解方程
解 由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于
2．求根的代数式的值
在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．
例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：
(3)α3＋β3；(4)α3-β3．
解 由韦达定理知
α+β=3，αβ=1．
(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)
=(α+β)[(α+β)2-3αβ]
=3(9-3)=18；
(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)
=(α-β)[(α+β)2-αβ]
例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．
解 因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以
4α2-2α-3＝0，
即
4α2=2α＋3．
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．
例5 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．
解 由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以
α2+α-1=0，β2+β-1=0，
即 α2=1-α，β2=1-β．
α5=(α2)2?α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α
=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α
=-3(1-α)+2α=5α-3，
β3=β2?β=(1-β)β=β-β2
=β-(1-β)=2β-1．
所以
2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)
=10(α+β)-11=-21．
说明 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．
例6 设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．
解 设x1，x2是方程的两个实根，于是
所以 as3＋bs2＋cs1=0．
说明 本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．
另解 因为x1，x2是方程的两个实根，所以
同理
将上面两式相加便得
as3＋bs2＋cs1＝0．
3．与两根之比有关的问题
例7 如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：
kb2=(k＋1)2ac．
证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理
由此两式消去x2得
即
kb2＝(k＋1)2ac．
例8 已知x1，x2是一元二次方程
4x2-(3m-5)x-6m2＝0
解 首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知
从上面两式中消去k，便得
即 m2-6m+5=0，
所以 m1=1，m2=5．
4．求作新的二次方程
例9 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．
解 设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则
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设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有
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故
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所以，求作的方程是
36x2-161x＋34=0．
例10 设x2-px＋q=0的两实数根为α，β．
(1)求以α3，β3为两根的一元二次方程；
(2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．
解 (1)由韦达定理知
α+β=p，αβ=q，
所以
α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)，
α3?β3=(αβ)3=q3．
所以，以α3，β3为两根的一元二次方程为
x2-p(p2-3q)x+q3=0．
(2)由(1)及题设知
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由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，
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以，符合要求的方程为
x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0．
5．证明等式和不等式
利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合．
例11 已知实数x，y，z满足
x=6-y，z2=xy-9，
求证：x=y．
证 因为x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程
t2-6t+(z2+9)=0
的两个实根，于是这方程的判别式
△=36-4(z2+9)=-4z2≥0，
即z2≤0．因z为实数，显然应有z2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y．
例12 若a，b，c都是实数，且
a＋b＋c=0，abc=1，
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证 由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得
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于是根据韦达定理知，b，c是方程
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的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式
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因为a＞0，所以
a3-4≥0，a3≥4，
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例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．
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解 (1)显然a≠0，由△=16a2-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韦达定理知
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所以
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所以a=9，这与a＜0矛盾．故不存在a，使
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(2)利用韦达定理
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所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．
练习八
1．选择：
(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ]
(A)△＞M (B)△=M
(C)△=＜M (D)不确定
(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则
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[ ]
(A)-4 (B)8
(C)6 (D)0
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为 [ ]
(A)3 (B)-11
(C)3或-11 (D)11
2．填空：
(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是______．
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，
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1993+5a2+9a4=_______．
(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+a-4的末位数是______．
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另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=______．
3．已知α，β是方程x2-x-1=0的两个实数根，求α4+3β的值．
4．作一个二次方程，使它的两个根α，β是正数，并且满足关系式
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