2007年广州中考数学试题答案
2007年广州市初中毕业生学业考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
C
B
B
D
A
D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分18分.
题号
11
12
13
14
15
16
答案
2
x =4
3
2
三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分.
17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分.
解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.
.
.
.
.
.
.
18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分.
解：该立体图形为圆柱.
因为圆柱的底面半径 ，高 ，
所以圆柱的体积 （立方单位）.
答：所求立体图形的体积为 立方单位.
19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10分．
解法1：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：
从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，
所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率 .
（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有：
从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，
所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率 .
解法2：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种，
所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率 .
（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB共2种，
所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率 .
20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分.
解：（1） 由扇形统计图知：
初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54％，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
（2）由频数分布表可知：
初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为 .
∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为 .
（3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.
例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为
（分）.
（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.）
又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.
21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分．
（1）证明：
∵ AE、AF是⊙O的切线，
∴ AE＝AF．
又∵ AC＝AB，
∴ AC AE＝AB AF．
∴CE＝BF，即BF＝CE．
（2）解法1：连结AO、OD，
∵ O是△ABC的内心，
∴ OA平分∠BAC．
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D是切点，
∴ OD⊥BC．
又∵ AC＝AB，
∴ AO⊥BC．
∴ A、O、D三点共线，即AD⊥BC．
∵ CD、CE是⊙O的切线，
∴ CD＝CE= ．
在Rt△ACD中，由∠C=30°，CD = ，得 ．
解法2：先证 AD⊥BC，CD＝CE= （方法同解法1）．
设AC＝x，在Rt△ACD中，由∠C=30°，得 ．
∵ ,
∴ ．
解之，得 （负值舍去）．
∴AC的长为4．
22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分．
解：（1）∵A( 1，0)、B(4，0)，
∴AO=1， OB=4，即AB= AO+OB=1+4=5.
∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5）.
（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为 ，
C
O
A
B
x
y
由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c=5，又由于该图象过
点（-1，0）、（4，0），则：
解这个方程组，得
∴所求的二次函数解析式为 .
∵ ，
∴当 时，y有最大值 .
解法2：
设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为 ，
∵点C（0，5）在图象上，
∴ ，即 ．
∴ 所求的二次函数解析式为 ．
∵点A、B的坐标分别为点A 、B ，
∴线段AB的中点坐标为 ，即抛物线的对称轴为直线 ．
∵，
∴当 时，y有最大值 .
23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分．
解：（1）当两个班分别购买门票时，
甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）；
乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）；
甲、乙两班分别购买门票共需花费880元．
当两个班一起购买门票时，
甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）．
答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．
（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，
解这个不等式组，得 .
答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.
24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分．
O
1
x
y
A
B
解：（1）∵一次函数y＝kx+k的图象经过点（1，4），
∴4＝k×1+k，即k＝2.
∴y＝2x+2.
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1.
即A（－1，0），B（0，2）.
如图，直线AB是一次函数y＝2x+2的图象.
O
1
x
y
A
B
P
Q
（2）∵PQ⊥AB，
∴∠QPO=90° ∠BAO.
又∵∠ABO=90° ∠BAO，
∴∠ABO=∠QPO.
∴Rt△ABO∽Rt△QPO.
∴ ，即 .
∴a＝2b.
（3）由（2）知a＝2b.
∴AP＝AO+OP＝1+a＝1+2b，
， .
若AP＝AQ，即AP 2＝AQ 2，则 ，即 ，这与 矛盾，故舍去；
若AQ＝PQ，即AQ 2＝PQ 2，则 ，即 ，
此时， ， ， （平方单位）.
若AP＝PQ，则 ，即 .
此时 ， .
（平方单位）.
∴△APQ的面积为 平方单位或（ ）平方单位.
25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分．
（1）证法1：
在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，
∴．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，
∴．
∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．
证法2：
证明BM=DM与证法1相同，下面证明BM⊥DM．
∵DM=MC，
∴∠EMD=2∠ECD．
∵BM=MC，
∴∠EMB=2∠ECB．
∴∠EMD＋∠EMB =2（∠ECD＋ECB）．
∵∠ECD＋∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．
（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．
证明如下：
证法1（利用平行四边形和全等三角形）：
连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵ DM=MF，EM=MC，
M
D
B
A
C
E
H
F
∴ 四边形CDEF为平行四边形.
∴ DE∥CF ，ED =CF.
∵ ED= AD,
∴ AD=CF.
∵ DE∥CF，
∴ ∠AHE=∠ACF．
∵ , ，
∴ ∠BAD=∠BCF.
又∵AB= BC,
∴ △ABD≌△CBF.
∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF.
∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC =90°.
在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM．
证法2（利用旋转变换）：
连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点 ，得到△ ，则 且 ．连结 ．
∵
M
D
B
A
C
E
∴ ．
又∵ ，
∴ 四边形 为平行四边形．
∴ D、M、 三点共线，且 ．
在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM．
证法3（利用旋转变换）：
连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点 ，得到△ ，则 且 ．
连结 ，延长ED交AC于点H．
∵ ∠AHD= 90°－∠DAH= 90°－(45°－∠BAD)= 45°＋∠BAD，
，
∵ ，
M
D
B
A
C
E
H
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ 四边形 为平行四边形．
∴ D、M、 三点共线，且 ．
在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM．
.
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A
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B
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