麓山国际：初中数学知识点全归纳
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初中几何公理、定理
一、线与角
1、两点之间，线段最短
2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线
3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等
4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称"垂线段最短"）
6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内角互补，两直线平行④平行于同一直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行
7、平行线的性质：
①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补
⑥平行线间的距离处处相等
9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
二、三角形、多边形
11、三角形中的有关公理、定理：
（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
②三角形的外角和等于360°
（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
（3）三角形的任何两边的和大于第三边、两边的差小于第三边
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
12、多边形中的有关公理、定理：
（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°
（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°
（3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2
13、等腰三角形中的有关公理、定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成"等边对等角"）
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称"三线合一"
（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成"等角对等边"）
（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
（5）等边三角形判定：①三边都相等的三角形叫做等边三角形；②有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形
14、直角三角形的有关公理、定理：
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
三、特殊四边形
15、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等 ②平行四边形的对角相等
③平行四边形的对角线互相平分.
16、平行四边形的判定:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形
17、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相等且互相平分
18、矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线相等的平行四边形是矩形
19、菱形的性质：①菱形的四条边都相等
②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
20、菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四条边相等的四边形是菱形
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
21、正方形的性质：①正方形的四个角都是直角②正方形的四条边都相等
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
22、正方形的判定：
①有一组邻边相等的矩形是正方形②两条对角线垂直的矩形是正方形
③有一个角是直角的菱形是正方形④两条对角线相等的菱形是正方形
23、梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形
24、等腰梯形的判定：①同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
②两条对角线相等的梯形是等腰梯形
25、等腰梯形的性质：①等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等
②等腰梯形的两条对角线相等
26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半
四、图形的全等
27、全等多边形的对应边、对应角分别相等
28、全等三角形的判定：
①如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（SSS） ②如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（SAS）
③如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(ASA)
④有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS）
⑤如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（HL）
29、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（3）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
30、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等)；（2）对应线段平行且相等（或在同一直线上）,对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.
31、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)（2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)（3）经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等
32、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称
五、图形的相似
33、（1）相似多边形的性质：
①相似多边形的对应边成比例 ②相似多边形的对应角相等
③相似多边形周长的比等于相似比 ④相似多边形的面积比等于相似比的平方
（2）相似三角形性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方
34、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
35、相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
②如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似
③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似
④如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似
⑤如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
36、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
六、圆
37、圆有关的概念:
(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．
(2)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
(3)圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧.
(5)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
38、圆的有关的性质：
(1)圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；
(2)垂径定理及其推论： 当一条直线满足①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．中的两个条件时，就能推出其余三个结论．（简称"知二推三"）
(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；
(4)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半
(5)圆内接四边形性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
(6)圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径；
(7)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(8)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
(9)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；
(10)相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段的长的积相等.
(11)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(12)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等.
39、三角形的内心和外心
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
40、点与圆的位置关系：点在圆外,点在圆上,点在圆内. 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆外 d＞r．②点在圆上 d=r．③点在圆内 d＜r．
41、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高． 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，
则①直线与圆相交 d＜r，②直线与圆相切 d=r，③直线与圆相离 d＞r
42、圆与圆的位置关系3．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则
①两圆外离 d＞R+r； ②两圆外切 d=R＋r；③两圆相交 R－r＜d＜R+r（R＞r）
④两圆内切 d=R－r（R＞r）⑤两圆内含 d＜R-r（R＞r）
43、圆有关的计算:
(1)弧长计算公式： （R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数）
(2)扇形面积： 或 （R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数）
(3)圆锥: S圆锥侧=S扇形= ×底面周长×母线=πrR, 并且2πr= (如右图).
（其中r为底面圆半径，R为圆锥母线长即展开图扇形半径）
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