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1、（11福州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D . （1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2) ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取 时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标. 解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，— ）, 则 解得 ∴抛物线的解析式为: ----------------------------4分 (2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 , 即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) --------------------6分 ②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形. ∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S= 时, 5t2－8t+4= ,得 20t2－32t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-------------------------------7分 此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，— ） 若R点存在，分情况讨论: 【A】假设R在BQ的右边, 这时QR PB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为— 即R (3, － )，代入 , 左右两边相等， ∴这时存在R(3, － )满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PR QB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－ 即(1, － ) 代入 , 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PR QB, 则：R(1，— )代入, 左右不相等, ∴R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, － )满足题意. ---------------------11分 （3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，— ）---------------------------------------14分 2、（11德州） 在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数 图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． （1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由． （2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时： ①求出点A，B，C的坐标． ②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的 ．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴ PA⊥OA，PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°， ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°． ∴四边形OKPA是矩形． 又∵OA=OK， ∴四边形OKPA是正方形．……………………2分 （2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 ． 过点P作PG⊥BC于G． ∵四边形ABCP为菱形， ∴BC=PA=PB=PC． ∴△PBC为等边三角形． 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x， PG= ． sin∠PBG= ，即 ． 解之得：x=±2（负值舍去）． ∴ PG= ，PA=BC=2．……………………4分 易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3． ∴ A（0， ），B（1，0） C（3，0）．……………………6分 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c． 据题意得： 解之得：a= ， b= ， c= ． ∴二次函数关系式为： ．……………………9分 ②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： 解之得：u= ， v= ． ∴直线BP的解析式为： ． 过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： ． 解方程组： 得： ； ． 过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： ． ∴0= ． ∴ ． ∴直线CM的解析式为： ． 解方程组： 得： ； ． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个， 分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．…………………12分 解法二：∵ ， ∴A（0， ），C（3，0）显然满足条件． 延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴ ． ∴点M的纵坐标为 ． 又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4． ∴点M（4， ）符合要求． 点（7， ）的求法同解法一． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个， 分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．…………………12分 解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴ ． ∴点M的纵坐标为 ． 即 ． 解得： （舍）， ． ∴点M的坐标为（4， ）． 点（7， ）的求法同解法一． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个， 分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．…………………12分
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