先造例 再猜想 后验证

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有这样一道竞赛趣题：
        小涵把一个密码数乘以5的积是一个9位数，有趣的是这个9位数恰好包含1到9这9个不同的数字，那么这个密码数的各位数字的和是多少？为什么？
        分析与解 先看两个例子：
        （1）24693579×5=123467895，这里被乘数当做密码数；
        （2）197528643×5=987643215，这里被乘数当做密码数。
        再计算密码数的各位数字的和：
        （1）2＋4＋6＋9＋3＋5＋7＋9=45；
        （2）1＋9＋7＋5＋2＋8＋6＋4＋3=45。
        由此猜想这个密码数的各位数字的和是45。
        从上面所造的两个例子中，我们已发现这种密码数不是唯一的，只要是用1到9这九个数字，任意排列成个位数字是5的九位数除以5所得的商，按照题意，都可当做密码数，可见这样的密码数与5的积的前8位数字应是1，2，3，4，6，7，8，9的任意排列，所以共有（8×7×6×5×4×3×2×1=）40320个。而小涵用的是哪个密码数却无法判断。
        为了证明上面的猜想是正确的，一般有两种方法：一是对40320个密码用枚举法逐个验证，但这个方法太繁，时间上也不允许这样做。
        另一个方法是设法直接证明。注意到密码数有8位数的也有9位数的，而且这些数中的各位数字也是五花八门的。而密码数乘以5的积倒是很有规律：前8位数恰是1，2，3，4，6，7，8，9的一个排列，末位数是5。不妨设密码数是A，于是5A的各位数字是1到9的一个排列，注意到5A×2=A×10= ，即密码数后面添一个零。要验证A的各位数字的和是45，那么，只要验证10A的各位数字的和是45就可以了。列表1分析如下：
       

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        表1
        由上表可知10A（=5A×2）的各位数字和等于1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45。
        为了更好地理解表1，可对照上面两例验算：（1）24693579×5×2=123467895=246935790，这里乘积中的奇数：9=8＋1，7=6＋1，5=4＋1，3=2＋1，它们都是进位来的“1”，所以2＋4＋6＋（8＋1）＋（2＋1）＋（4＋1）＋（8＋1）＋0=45；
        同理有（2）197528643×5×2=987643215×2=1975286430，所以1＋（8＋1）＋（6＋1）＋（4＋1）＋2＋8＋6＋4＋（2＋1）＋0=45。
        由此可见，并不需要考虑小涵取的是哪一位密码数，反正它的各位数字的和总是45。