巧用面积法解题

中考网

许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。
        一. 用面积法证线段相等
          例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
        求证：CF=BE。
       

1Z95CB1-0.jpg

        图1
        证明：连结EC，由BD=DC得，
       

1Z95A049-1.gif

，
        两式两边分别相加，得
       

1Z95A948-2.gif

        故

1Z95A4c-3.gif

        所以BE=CF。
        注：直接由

1Z95A442-4.gif

得
       

1Z9563P2-5.gif

更简洁。
         
        二. 用面积法证两角相等
          例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
        求证：∠AOC=∠BOC。
       

1Z9561591-6.jpg

        图2
        证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。
        因为△ACD、△BCE都是等边三角形，
        所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
        所以∠ACE=∠DCB
        所以△ACE≌△DCB
        所以AE=BD，

1Z95B435-7.gif

        可得CP=CQ
        所以OC平分∠AOB
        即∠AOC=∠BOC
         
        三. 用面积法证线段不等
          例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。
        求证：BD>CD。
       

1Z9561534-8.jpg

        图3
        证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F
        设BC边上的高为h。
        因为∠BAD=∠DAC
        所以DE=DF
        因为

1Z95CP3-9.gif

        且AD>AC
        所以

1Z95AA0-10.gif

        即

1Z95625E-11.gif

        所以BD>CD
         
        四. 用面积法证线段的和差
          例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
        求证：PE+PF+PD=h。
       

1Z9563047-12.jpg

        图4
        证明：连结PA、PB、PC
        因为

1Z9561621-13.gif

，

1Z9564320-14.gif

        又

1Z9564964-15.gif

        所以

1Z95C421-16.gif

。
        因为△ABC是等边三角形
        所以

1Z95B396-17.gif

        即PE+PF+PD=h
         
        五. 用面积法证比例式或等积式
          例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。
        求证：

。
       

1Z9564347-19.jpg

        图5
        证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
        因为AD是△ABC的角的平分线，
        所以DE=DF，
        则有

1Z9561W9-20.gif

。
        过A点作AH⊥BC，垂足为H，
        则有

        即

         
        六. 用面积比求线段的比
          例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
        求证：

。
       

        图6
        证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则
       

，
        所以

。
        又

，
        所以

，
       

        所以

。
        　　编辑推荐：
        　　2012年中考生心理调节必备五大妙方
        　　中考生早餐吃得要像“皇帝”一样
        　　决战中考：数学必做压轴综合题（20道）
        　　中考物理：用马铃薯确定电池正负极
        　　近五年全国中考语文名著阅读题集锦（500篇）
        　　中考英语作文预测及范文参考