应用性试题的类型及解题思路

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《数学课程标准》中指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”为落实这一理念，近年来数学中考加强了对应用意识及解决实际问题能力的考查，其份量有越来越重的趋势。应用问题有多种类型，下面着重展示如下六种应用性试题，并对其解题思路加以分析。
        一、方程（组）应用题
            这类问题是研究现实世界数量关系的最基本的问题，它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界。诸如行程、增长率、储蓄、利息、税率、工程施工及劳力分配等问题，都可以通过列方程（组）来解决。
          例1. 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐：同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。
            （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
            （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。
            解：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，根据题意
            得

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            解这个方程组，得

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            所以1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐。
            （2）因为

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，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐。
         
        二、不等式（组）应用题
            生活中的不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围，从而对所研究的问题有一个比较清楚的认识。市场营销、生产决策和社会生活中有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题常用不等式（组）应用题来解决。
          例2. 市“康智”牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限量生产”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足；110。已知有关数据如下表所示，那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？
       
       
       
               

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                    解：设该公司安排生产新增甲产品x件，那么生产新增乙产品

1U6062T1-4.gif

件，由题意，得

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。
       
                    解这个不等式组，得

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                    依题意，得

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                    当

1U60AZ3-8.gif

时，

1U6063C7-9.gif

       
                    当

1U60615C-10.gif

时，

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                    当

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时，

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                    所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件，乙产品8件；或生产新增甲产品13件，乙产品7件。
       
                 
       
                三、函数应用题
       
                    函数反映了事物间的广泛联系，提示了现实世界众多的数量关系及变化规律，日常生活中的许多问题，诸如造价成本最低、生产利润最大、风险决策、股市期货、开源节流、扭亏增盈、方案最优化等问题的研究，都可以通过建立函数关系来解决。
       
                  例3. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：
       
                    （1）乙队开挖到30m时，用了____________________________h。开挖6h时甲队比乙队多挖了____________________________m；
       
                    （2）请你求出：
       
                ①甲队在

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的时段内，y与x之间的函数关系式；
       
                ②乙队在

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的时段内，y与x之间的函数关系式；
       
                （3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
       
               

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                    解：（1）2，10；
       
                    （2）设甲队在

的时段内，y与x之间的函数关系式

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                    由图可知，函数图像过点（6，60）
       
                    

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                    解得

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                    设乙队在

的时段内y与x之间的函数关系式为

       
                    由图可知，函数图像过点（2，30）、（6，50）
       
                    

       
                    解得

       
                    

       
                    （3）由题意，得

       
                    解得x=4(h)
       
                    ∴当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等。
       
                 
       
                四、几何应用题
       
                   几何应用题图文并茂，贴近人类生活经验和实验需要，如零件加工、残轮修复、工程选点定位、裁剪方案、美化设计、道路拱桥计算等实际问题中都涉及一定的图形知识，在解决这些问题时，我们通常要抓住图形的几何性质，将实际问题转化为几何问题来进行解决。
       
                  例4. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
       
               

       
                    解：设圆心为点O，连结OB、OA，OA交线段BC于点D
       
                    因为AB=AC
       
                    所以OA⊥BC
       
                    且

       
                    由题意，DA=5
       
                    利用勾股定理易求出OB=1442.5
       
                    所以滴水湖的半径为1442.5
       
                 
       
                五、统计应用题
       
                    统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实生活中有着广泛的应用，要求学生学会如何收集数据和分析数据，深刻理解用样本估计整体的基本统计思想，掌握描述数据集中趋势和离散程度的两类基本统计量，并能够灵活计算。
       
                  例5. 为了迎接全市中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：米，精确到0.01米）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值，不含最高值），已知图中从左到右每个小长方形的高的比依次为2：4：6：5：3，其中1.80~2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：
       
               

       
                    （1）填空：这次调查的样本容量为______________________，2.40~2.60这一小组的频率为_____________________。
       
                    （2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由。
       
                    （3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？
       
                    （4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00米以上（包括2.00米）的约有多少人？
       
                    解：（1）40，0.15
       
                （2）∵各小组的频数分别为：
       
               

，

，

，

，

       
                    而中位数是40个成绩从小到大排列后第20个数据和第21个数据的平均数。
       
                    ∴中位数落在2.00~2.20这一小组内
       
                （3）设样本人均成绩最低值为x，则
       
               

       
                    ∴样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03米。
       
                    （4）

（人）
       
                    所以该校初三男生立定跳远成绩在2.00米以上的约有350人。
       
                 
       
                六、三角形应用题
       
                    解直角三角形应用问题，题目新颖灵活，有利于培养学生采取多种方法求解的能力，解题的关键是抓住锐角三角函数以及直角三角形边与角之间关系。
       
                  例6. 如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度i=1：2且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度。（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
       
               

       
                    解：作PE⊥OB于点E
       
                    PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°
       
                    

（米）
       
                    设PE=x米
       
                    

       
                    解得

（米）
       
                    所以电视塔OC高为

米，人所在位置点P的铅直高度为

（米）。
       
                 
       
         
         
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