求角的度数四法

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在学习与三角形有关的角时，同学们会遇到许多求角的大小的问题，其中有些题目看似简单，却很难入手，有些题目因思考不全面而造成漏解。怎么办？要知道，数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙。本文就谈谈数学思想方法在求解角的度数问题中的运用，希望对同学们解题有所帮助。
          1、整体法
               例1  如图1，若点P为△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，求∠BPC

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∠A的度数。
       

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        图1
               分析：解本题的关键在于从整体着眼，利用∠PBC+∠PCB建立∠A和∠BPC的联系。
               解：∵∠PBC=

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∠ABC
               ∠PCB=

∠ACB
               ∠BPC=180°－（∠PBC+∠PCB）
               ∴∠BPC－

∠A
               

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          2、方程法
               例2  如图2，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数。
       

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        图2
               分析：根据三角形的内角和定理，结合已知条件可先求出∠A、∠ABC、∠ACB的度数。在△BHC中，还需求出∠DBC和∠ECB的度数。
               解：设∠A=3x度，则∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。
               所以

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。
               解得x=15，即∠A=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°
               在△DBC中，由∠BDC=90°，可知△DBC是直角三角形。
               所以∠DBC=90°－75°=15°
               在△ECB中，由∠CEB=90°，可知△ECB是直角三角形。
               所以∠ECB=90°－60°=30°
               在△BHC中，∠BHC=180°－15°－30°=135°
               点评：由于∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，设∠A=3x度，则∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。再根据三角形内角和定理，就可以得到一个关于x的方程，即

。从而求得∠A、∠ABC、∠ACB的度数。这种方法会经常用到，要注意掌握。
          3、分类法
               例3 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，求∠BHC的度数。
               分析：三角形的形状不同，高线的交点的位置也不同。当三角形为锐角三角形时，高的交点在其内部；当三角形为钝角三角形时，高的交点在其外部。故应分两种情况讨论。
               解：（1）设△ABC为锐角三角形（如图3）。
       

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        图3
        ∴BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
        ∴∠ABD=90°－45°=45°
        ∴∠BHC=∠ABH+∠BEH
        =45°+90°
        =135°
        （2）设△ABC为钝角三角形（如图4）
       

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        图4
        ∴H是△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，
        ∴∠DCH=∠ECA
                =90°－45°
                =45°
        ∴∠BHC=90°－∠DCH
                =90°－45°
                =45°
        综上可知，∠BHC的大小是135°或45°。
          4、构造法
               例4  如图5，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数。
       

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        图5
               分析：若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的内角，则必须构造三角形。结合图形不难发现，连接BC即可。
               解：连接BC。
               ∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
               ∠BDC=140°
               ∴∠DBC+∠DCB=40°
               又∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°
               ∠BGC=110°
               ∴∠GBD+∠GCD=180°－110°－40°=30°
               ∵∠GBD

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∠ABD
               ∠GCD=

∠ACD
               ∴∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=60°
        ∴∠A=180°－（∠ABC+∠ACB）
             =180°―60°―40°
             =80°。
               点评：此题还可延长CD交BE于一点，请同学们尝试一下这种解法。在进行与角有关的计算时，为了能使用三角形内角和定理及内角与外角的关系，常常需要构造三角形或三角形的外角，这时需要添加某些线段或延长某些线段。
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