双曲线中重要结论的灵活应用

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反比例函数的图象��双曲线上的点的横坐标与纵坐标的乘积为一恒定值，这是反比例函数的一个重要性质。所以，围绕此性质的各种形式的考题层出不穷。但无论形式如何变化，其解题方法是有律可循的。
       
                例1. 如图1所示，过函数

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（k是常数，k>0，x>0）的图象上两点A、B，分别作AC垂直x轴于C，BD垂直x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（）
       
                A.

192Q435B-1.gif

B.

192Q461C-2.gif

       
                C.

192Q43327-3.gif

D. S1和S2的大小无法确定
       
               

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                图1
       
                分析：设点A的坐标为

192Q45H3-5.gif

，点B的坐标为（

192Q42947-6.gif

），根据题意可得：

192Q45U4-7.gif

。因为点A和点B在函数

192Q44640-8.gif

的图象上，所以有

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。因此有

192Q41515-10.gif

，答案选B。
       
                总结：从上面的解题过程可以看出，这两个三角形的面积是相等的。进而我们得出一个一般结论：过双曲线

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上的任意一点作任意一个坐标轴的垂线，这点和垂足及坐标原点所构成的直角三角形的面积都等于

192Q43023-12.gif

。有了这个结论后，利用它就能轻易解决其他与之相关的题目了。
       
                例2. 如图2所示，

192Q41a7-13.gif

是函数

192Q44535-14.gif

的图象在第一象限分支上的三个点，且

192Q429E-15.gif

。过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为

192Q44S6-16.gif

，则下列结论中正确的是（ ）
       
                A.

192Q45646-17.gif

B.

192Q45C3-18.gif

       
                C.

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D.

       
               

       
                图2
       
                分析：利用上面的结论可得这三个矩形的面积都是相应直角三角形面积的2倍，等于1，所以答案选D。
       
                例3. 如图3所示，P是反比例函数图象在第二象限分支上的一点，且矩形PEOF的面积为3。则反比例函数的表达式是_____________。
       
               

       
                图3
       
                分析：根据例2可知矩形PEOF的面积等于|k|，所以有|k|=3，故

。因为反比例函数图象在第二、四象限，所以

，故函数表达式为

。
       
                例4. 如图4所示，正比例函数

与反比例函数

的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，CD垂直x轴于D，则四边形ABCD的面积为（）
       
                A. 1 B.

C. 2 D.

       
               

       
                图4
       
                分析：根据双曲线的对称性可得四边形ABCD是平行四边形。因此它的面积是△AOB面积的4倍。因此，四边形ABCD的面积为

，所以答案选C。
       
                总结：数形结合是一种重要的数学思想。解此类题，只要掌握“反比例函数图象上任一点的横、纵坐标之积为一定值”这一基本性质，问题就迎刃而解了。
       
                  
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