用整体思想法解数学题

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例1 分解因式

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                分析：若把两个二次三项式

1411463144-1.gif

与

1411464K3-2.gif

相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。但若把

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（或

14114645N-4.gif

）视为一个整体，即把

看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
       
                解：设

14114624C-6.gif

，则

1411461222-7.gif

       
                原式

1411461X6-8.gif

       
                再将

14114B3N-9.gif

代入上式
       
                原式

1411464915-10.gif

       
               

14114B2Z-11.gif

       
                说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
       
                例2 解方程

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                解：设

14114642R-13.gif

，则原方程可变为

14114C091-14.gif

       
                解得

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，

14114AQ2-16.gif

       
                当

14114CE5-17.gif

时，解得

1411461W8-18.gif

；当

14114A414-19.gif

时无解
       
                经检验，

是原方程的解。
       
                说明：本题是把

1411464L7-21.gif

看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。
       
                例3 计算

       
               

       
                解：设

，则
       
                原式

       
               

       
                说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。
       
                例4 已知

和

成正比例（其中m、n是常数）
       
                （1）求证：y是x的一次函数；
       
                （2）如果

时，

；

时，

，求这个函数的解析式。
       
                解：（1）因

与

成正比例，故可设

       
                整理可得

       
                因

，

、

为常数，所以y是x的一次函数。
       
                （2）由题意可得方程组

       
                解得

，

.
       
                故所求的函数解析式为

。
       
                说明：在解方程组时，单独解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。故将

看成一个整体求解，从而求得函数解析式。
       
                例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
       
                分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决。
       
                解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元。
       
                依题意，得

，即

       
                解关于

，

的二元一次方程组，可得

（元）
       
                答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。
       
                说明：由于我们所感兴趣的不是x、y、z的值，而是

这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果。
       
                练习：
       
                1. 分解因式

。
       
                2. 解方程

。
       
                3. 设y与x的函数关系式为

（k、a、b为常数），且

时，y=19，x=3时，y=20。求此函数的解析式。
       
                4. 已知

，求代数式

的值。
       
                5. 一个四位数，其首位上的数字为1，若把首位移作末位，则新的四位数是原数的4倍还多1995，试求原来的四位数。
       
                6. 甲、乙两人相距100km，两人同时出发，相向而行，甲每小时走6km，乙每小时走4km；甲带的一只狗，同甲一起出发，每小时走10km，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，如此连续往返，到甲、乙两人相遇时，这只狗一共走了多少千米？
       
                7. 有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可运货15.5t，5辆大车和6辆小车一次可运货35t，求3辆大车和5辆小车一次可运货多少吨。
       
                参考答案及提示：
       
                1.

2.

，

。
       
                3.

4. 5
       
                5. 设原来的四位数去掉首位的后三位数为x，则原来的四位数可表示为

，新四位数可表示为

，由题意得

，解得x=999，故原来的四位数为1999。
       
                6. 由出发时起，直到甲、乙相遇为止，小狗以每小时10km的速度跑了

，因此小狗一共走了

的路。
       
                7. 设1辆大车与1辆小车一次可以各运xt、yt，则有
       
               

       
               

，得

，即有

        即3辆大车和5辆小车一次可运货24.5t。
       
       
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