怎样求重叠部分的面积

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例1. 如图1，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形

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，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？
       

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        图1
        解：由正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形

       

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        设

1350056251-4.gif

，则

13500535K-5.gif

，根据勾股定理，
       

135005L92-6.gif

        变题：如图2，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形

，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？
       

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        图2
        分析：将原题中的30°变成60°后，原来的解题方法已经不能再用了，那就要另外想办法了。
        仍然要连结AE，

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，只要求出

1350053012-10.gif

，问题就解决了。所以，本题的关键就是求出

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的长。
        解：连结AE，作EF∥AD
        ∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形

       

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        ∵EF∥AD
        ∴∠1＝∠4
        ∴∠1＝∠2
        ∴EF＝AF
        设

，则

1350054F4-15.gif

        根据勾股定理，

135005A92-16.gif

       

1350052443-17.gif

        即

1350054192-18.gif

       

13500564H-19.gif

        例2. 如图3，正方形ABCD的面积为S，对角线相交于点O，点O是正方形

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的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形

绕点O转动时，
       

135005L02-22.gif

        图3
        （1）求两个正方形重叠部分的面积。
        （2）如果正方形

的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积等于多少？与上述结论是否一致？
        （3）将正方形

改为

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，只要满足什么条件，重叠部分的面积不变？
        （4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形

13500553U-26.gif

绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，问扇形

应满足什么条件？并且说明你的理由。
        （1）解：∵ABCD为正方形
        ∴OA＝OB，AC⊥BD
        ∠1＝∠2＝45°
        ∠3＋∠BOE＝90°
        ∵

是正方形
        ∴∠BOE＋∠4＝90°
        ∴∠3＝∠4
        ∴△AOE≌△BOF
       

        ∴两个正方形重叠部分的面积

        （2）如果正方形

的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积仍然等于

与上述结论一致。因为求解的过程没有任何改变。
        （3）将正方形

变为

，只要满足

，并且

与正方形ABCD没有交点，那么求重叠部分的面积的方法与上面的方法一样，所以重叠部分的面积不改变。
        （4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形

绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，扇形

应满足的条件是：
       

，且

        类似上面的方法，容易证明△BOE≌△COF（如图4）。
        所以重叠部分的面积

，而且保持不变。
       

        图4
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