中学趣味数学：足球上的玄妙

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足球是许多人热爱的运动．但似乎很少有人留意到足球面的组成．从远处看足球似乎是一个完美的球体．但事实上，传统足球是由黑白两色皮黏合、缝制成的多面体，其中黑块皮为正五边形，白块皮为正六边形．一个有趣的问题是：黑、白皮各有多少块呢？
        　　观察一下会发现：黑块皮周围都是白块皮，即每一黑色皮块的边皆与白色皮块相邻，而每一白色皮块却只有3条边与黑色皮块相接．设x为黑色皮块的数目，而y为白色皮块的数目．则黑白图形相邻边的数目=5x＝3y．因此足球面上的“黑白比”为：x∶y＝3∶5．利用这个比值，只需知道较少的黑皮块数量，就可推算出较多的白皮块数量．我们数一数，就可发现黑皮有12块，由此可计算出白皮块有20块，而整个足球皮块总数为32块．
        　　这个问题如果不数黑皮块也可得到解决，但要借助于欧拉于1752年给出的凸多面体的欧拉公式．这一奇妙的定理描述了简单多面体的顶点数、面数及棱数之间的关系：将多面体的面数与顶点数相加再减去棱数，结果总是2．亦即，设多面体的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则三者之间满足F＋V－E＝2．
        　　现在设足球的面、顶点、棱分别为F、V、E，并设正五边形、正六边形分别有x、y个．
        　　首先易知，面数F＝x+y；又因为每两个相邻的正多边形恰好有一条公共边，即每条棱均为两个面的交线，所以棱数E＝

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；此外，观察可看到一黑两白的相邻三块皮交于一个公共顶点，换言之每个顶点对应三条边，所以顶点数V＝

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．
        　　于是，由欧拉公式F＋V－E＝2得到

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．
        　　与上面已经得到的5x＝3y联立，即可解得x＝12，y＝20．
        　　因此足球上的黑皮正五边形有12个，白皮正六边形有20个．有意思的是，足球表面32块黑白相间的球皮，倒恰可象征参加世界杯决赛圈比赛的32支队伍．