中学趣味数学：棒球锦标

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　　在棒球赛季的最后一周，猫咪棒球俱乐部联合会的野猫队、红猫队、美洲狮队和家猫队的得分仍并列第一。于是决定进行一系列的“季后赛”。在季后赛中赢的场数最多的一队将夺得锦标。
       
                　　（l）在季后赛中，各队（以各队基地所在城市的名称表示）的得分情况如下：
               
               
                 
       
                 
       

	三场比赛中                                                                                         　　的得分记录
塞克斯顿城队	l—3—7
特里布尔城队	l—4—6
阿尔斯特城队	2—3—6
凡尔迪尤城队	2—4－5

       
                 
       
                 
       
                　　（2）各队在季后赛中赢的场数各不相同。
       
                　　（3）季后赛中每场比赛的比分各不相同。
       
                　　（4）在各场比赛中两队得分差距最大的是3分。这个差距只出现过一次，在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方3分。
       
                　　（5）在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同，在第二轮中有两个队的得分相同。（各队同时比赛一次称一“轮”。）
       
                　　（6）在最后一轮中，野猫队的得分为较大的奇数，红猫队的得分为较小的奇数，美洲狮队的得分为较大的偶数，家猫队的得分为较小的偶数。
       
                　　四支棒球队中的哪一支球队----野猫队、红猫队、美洲狮队，还是家猫队夺得了锦标？
       
                　　（提示：总共比赛了多少场？不考虑队名，各队蠃了多少场？对于夺得锦标的队，可能是哪一种三场得分组合？对于输的场数最多的队，可能是哪一种三场得分组合？夺得锦标的队参加的比赛，结果可能是什么样的比分？输的场数最多的队参加的比赛，结果可能是什么样的比分？）
       
                　　答　案
       
                　　根据（1），总共比赛了六场。
       
                　　根据{（2）各队在季后赛中赢的场数各不相同。}以及比赛了六场的事实，一个队赢了三场，一个队赢了两场，一个队赢了一场，一个队一场都没赢（因此没有平局）。塞克斯顿城队和特里布尔城队都不可能赢三场，因为它们都有一场比赛只得了1分。塞克斯顿城队没有三场全输，因为有一场比赛它得了季后赛中的最高分（7分）。因此，下列四种情况必有一种发生：
       
                　　Ⅰ．凡尔迪尤城队赢了三场，特里布尔城队一场都没赢。
       
                　　Ⅱ．凡尔迪尤城队赢了三场，阿尔斯特城队一场都没赢。
       
                　　Ⅲ．阿尔斯特城队赢了三场，特里布尔城队一场都没赢。
       
                　　Ⅳ．阿尔斯特城队赢了三场，凡尔迪尤城队一场都没赢。
       
                　　除（l）之外，下面的推理还用到了（3）和（4）。
       
                　　如果发生的是Ⅰ，则特里布尔城队对塞克斯顿城队的比赛结果是6比7，于是特里布尔城队得4分的那场比赛的对手不是凡尔迪尤城队就是阿尔斯特城队。如果是凡尔迪尤城队，则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说，（4）就得不到满足。因此特里布尔城队得4分的那场比赛的对手是阿尔斯特城队，而且那场比赛阿尔斯特城队得了6分。于是特里布尔城队对凡尔迪尤城队的比赛结果是1比4，从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1，凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是5比3，塞克斯顿城队对阿尔斯特城队是3比2。这样，三轮比赛的结果可表示如下（S代表塞克斯顿城队，T代表特里布尔城队，U代表阿尔斯特城队，V代表凡尔迪尤城队）：
       
                 
       

ST	TU	TV
7:6	4:6	1:4
VU	VS	SU
5:3	2:1	3:2

       
        　　这种情况与{（5）在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同，在第二轮中有两个队的得分相同。（各队同时比赛一次称“轮”。）}矛盾，所以I被排除。
       
                 
       
                　　如果发生的是Ⅱ，则阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是6比7。于是，根据{（4）在各场比赛中两队得分差距最大的是3分。这个差距只出现过一次，在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方3分。}，要么阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2比5，要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是3比6。如果是前者，则阿尔斯特城队对特里布尔城队是3比4，从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4比3，凡尔迪尤城队对特里布尔城队是2比1。但是这样一来，将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是1比6，而这与（4）矛盾。因此，应该是阿尔斯特城队对特里布尔城队是3比6。从而阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2比4。接下来，要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是2比1，要么凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1。如果是前者，则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是5比3。但是这样一来，将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是2比4，而这与（4）矛盾。因此，应该是凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1。从而凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5比4，塞克斯顿城队对特里布尔城队是3比1。这样，三轮比赛的结果可表示如下：
       
                 
       

US	UT	UV
6:7	3:6	2:4
VT	VS	ST
5：4	2:1	3:l

       
                 
       
                　　这种情况与（5）矛盾，所以Ⅱ被排除。
       
                　　如果发生的是Ⅲ，则特里布尔城队对塞克斯顿城队是6比7。于是，特里布尔城队仅得1分的那场比赛的对手不是阿尔斯特城队就是凡尔迪尤城队。如果是阿尔斯特城队，则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说，（4）就得不到满足。因此特里布尔城队仅得1分的那场比赛的对手是凡尔迪尤城队，而且那场比赛凡尔迪尤城队得了4分。于是，特里布尔城队对阿尔斯特城队是4比6，阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是3比2，阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是2比1，塞克斯顿城队对凡尔迪尤城队是3比5。这样，三轮的比赛结果可表示如下：
       
                 
       

TS	TV	TU
6:7	1:4	4:6
UV	US	SV
3:2	2:1	3:5

       
                 
       
                　　这种情况与（5）矛盾，所以Ⅲ被排除。
       
                　　如果发生的是Ⅳ，则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4比7。于是，要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5比6，要么是凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是5比6。同时，要么阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是2比1，要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是2比1。因此，共有四种可能。我们进行推理如下（其中（b）中又发生了两种可能）：
       
                　　　　　　　(a)如果
       

VS	VT	US	则	VU	则	UT	则	ST
4：7	5：6	2：1	2：3	6：4	3：l
(b)如果	VS	VT	UT	则	VU	则	US                                                                                         　　6：3	则	ST                                                                                         　　1：4
4：7	5：6	2：1	2：3	或                                                                                         　　US                                                                                         　　6：1	则	ST                                                                                         　　3：4
(c)如果	VS	VU	US	则	VT	则	UT	则	ST
4：7	5：6	2：1	2：4	3：1	3：6
(d)如果	VS	VU	UT	则	VT	则	US	则	ST
4：7	5：6	2：1	2：4	3：1	3：6

       
        　　
       
                 
       
                　　根据（4），（b）、（c）和（d）被排除。这样，三轮的比赛结果可表示如下：
       
                 
       

(a)	VS	VU	VT
4：7	2：3	5：6
UT	ST	US
6：4	3：1	2：1

       
       
        　　这是唯一余下的并且能够满足（5）的情况。
       
                 
       
                　　根据（5）和（6），
       
               

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                　　 是最后一轮。
       
                　　根据{（6）在最后一轮中，野猫队的得分为较大的奇数，红猫队的得分为较小的奇数，美洲狮队的得分为较大的偶数，家猫队的得分为较小的偶数。}，可以把各支棒球队与它们的基地所在城市对应起来：
       
                　　野猫队：凡尔迪尤城美洲狮队：特里布尔城
       
                　　红猫队：塞克斯顿城家猫队：阿尔斯特城
       
                　　由于Ⅳ实际发生的情况，所以阿尔斯特城队赢了季后赛中所有的比赛。由于阿尔斯特城队就是家猫队，所以夺得锦标的是家猫队。