最全的因式分解方法：换元法与待定系数法

中考网

　　7、换元法
　　换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此
　　种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
　　例7分解因式：
　　(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
　　解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到
　　(x+1)(x+4)=x2+5x+4
　　(x+2)(x+3)=x2+5x+6
　　故可用换元法分解此题
　　解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
　　令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120
　　=y2-121
　　=(y+11)(y-11)
　　=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
　　=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
　　注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？
　　8、待定系数法
　　 待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多 项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。
　　例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
　　分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法
　　先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
　　解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)
　　=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………
　　比较两个多项式（即原式与*式）的系数
　　m+2n=14(1)m=4
　　3m-3n=-3(2)=>
　　mn=20(3)n=5
　　∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)
　　注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n
　　令a=1,b=0,m+2n=14m=4
　　=>令a=0,b=1,m=n=-1n=5