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北京四中网校:中考数学热点分析--探索型问题(2)

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发表于 2016-6-29 15:23:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
例3.如图,已知ΔABC是等腰直角三角形,∠C=90°
  (1)操作并观察,如图,将三角板的45°角的顶点与点C重合,使这个角落在∠ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F两点,然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF?
  写出观察结果。
写出观察结果。

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  (2)探索:AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形(即能否有EF2=AE2+BF2)?如果能,试加以证明。
  分析:操作、观察不是重点,探索、猜测才是整个题目的重点,是难点,也就是说,从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的。
  (1)中只须旋转∠ECF中用刻度尺量一量或观察,即可得到。
  (2)要判断EF2=AE2+EF2,思路是把AE、EF、FB搬到一个三角形中,通常用平移、翻折、旋转等方法,此题目用翻折的方法,出现和线段AE、BF相等的线段,并且和EF在一个三角形中。
  解:(1)观察结果是:当45°角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将这个角绕着点C在ÐACB内部旋转时,AE、EF、FB中最长的线段始终是EF。
  (2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形,证明如下:

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  例4.(北京朝阳区,最后一题)如图,一个圆形街心花园,有三个出口A,B,C,每两个出口之间有一条60米长的道路,组成正三角形ABC,在中心点O处有一亭子,为使亭子与原有的道路相通,需再修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草。
  (1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将你的设计方案分别画在图1,图2中,并附简单说明。
  (2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?请把方案画在图3中,并求此时三条小路的总长。
  (3)请你探究出一种一般方法,使得出口D不论在什么位置,都能准确地找到另外两个出口E、F的位置,请写明这个方法。
  (4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗?请结合图5予以说明,这种方法能推广到正n边形吗?

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  例5.某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园(矩形GHCK),为了使文物保护区ΔAEF不被破坏,矩形公园的顶点G不能在文物保护区内,已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。
  (1)求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时,公园的面积。
  (2)当G在EF上什么位置时,公园面积最大?
  分析:第一问比较容易,求出矩形GHCK的长和宽,注意利用ΔAEF的条件。
  第二问是个探索性的问题,求面积的最大值,常用的办法是将面积表示成长(或者宽)的函数。

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  说明:对于探索某一个量最大、最小的问题,利用函数思想是首选的方法,可以设置适当的变量,所求的量用它来表示,从而用函数的最大最小来求。
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