第一讲 分式方程(组)的解法

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分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．
　　[B]例[/B][B]1 [/B]解方程
　　　　

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　　 [B]解[/B] 令y=x2＋2x-8，那么原方程为
　　　　

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去分母得
　　y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，
　　y2-4xy-45x2=0，
　　(y+5x)(y-9x)=0，
所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．
　　经检验，它们都是原方程的根．
　　[B]例[/B][B]2 [/B]解方程
　　　　

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y2-18y+72=0，
所以 y1=6或y2=12．
　　

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x2-2x＋6=0．
此方程无实数根．
　　

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x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6．
　　经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．
　　[B]例[/B][B]3 [/B]解方程
　　　　

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　　[B]分析与解[/B] 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为
　　

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整理得
　　

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去分母、整理得
x＋9=0，x=-9．
　　经检验知，x=-9是原方程的根．
　　[B]例[/B][B]4 [/B]解方程
　　

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　　[B]分析与解[/B] 方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为
　　

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即
　　

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所以
　　　　　　　((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．

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　　[B]例[/B][B]5 [/B]解方程
　　　　

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　　[B]分析与解[/B] 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
　　

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整理得
　　

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去分母得
x2＋9x-22＝0，
解得 x1=2，x2=-11．
　　经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．
　　[B]例[/B][B]6 [/B]解方程
　　　　

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次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为
　　

所以
　　　　　　x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．

　
　　

　　[B]例[/B][B]7 [/B]解方程
　　　　

　　[B]分析与解[/B] 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为
　　

　

当x≠0时，解得x=±1．
　　经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．
　　[B]说明[/B] 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．
　　


　
　　[B]例[/B][B]8 [/B]解方程
　　　　

　　[B]解[/B] 将原方程变形为
　　　　

　

　
　　　　　　　　　

　

　
　　

　
　　

　
　　[B]例[/B][B]9 [/B]解关于x的方程
　　　　

　
　　

　
　　　　　　　　　　

　

　
　　

　　将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．
　　[B]例[/B][B]10 [/B]如果方程
　　　　

只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．
　　[B]分析与解[/B] 将原方程变形，转化为整式方程后得
2x2-2x+(a+4)=0． ①
原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即
△=4-4?2(a+4)=0．

　
　　(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．
　　(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
　　(ii)当x=2时，代入①式，得
2×4-2×2＋(a+4)=0，
即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
　　 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是

[B]
练习一
[/B]
　　1．填空：
　　

　
　　　　

　　(3)如果关于x的方程
　　　　　　　　　　

有增根x=1，则k=____．
　　

　　2．解方程
　　

　　3．解方程
　　

　　4．解方程
　　

　　5．解方程
　　

　　6．解方程
　　

　　7．m是什么数值时，方程　
　　

有根？