第七讲 函数的最大值与最小值

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我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．
　　[B]1．一次函数的最大值与最小值[/B]
　　一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．
[B]　　例1 [/B]设a是大于零的常数，且a≠1，

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求y的最大值与最小值．
　　

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大值a．
　　

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[B]　　例2 [/B]已知x，y，z是非负实数，且满足条件
x＋y＋z=30，3x+y-z=50．
　　求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．
[B]　　分析[/B] 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．
[B]　　解[/B] 从已知条件可解得
y=40-2x，z=x-10．
　　所以
　　u=5x＋4y+2z
　　 ＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)
　　　=-x+140．
　　又y，z均为非负实数，所以
　　　　　　　　　　　　

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　　解得10≤x≤20．
　　由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．　　
　　[B]2．二次函数的最大值与最小值[/B]
[B]　　例3 [/B]已知x1，x2是方程
x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0
　　

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[B]　　解[/B] 由于二次方程有实根，所以
△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，
3k2＋16k＋16≤0，
　　

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[B]　　例4 [/B]已知函数

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　　有最大值-3，求实数a的值．

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[B]　　解[/B] 因为
　

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的范围内分三种情况讨论．
　　

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-a2＋4a-1＝-3
　　

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[B]　　例5 [/B]已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

　
[B]　　解[/B] 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积
S=xy，2≤X≤4．
　　易知CN=4-x，EM=4-y，且有
　　　　　　　　　　　

　　

　
　　

　

　　二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值

　　
[B]　　例6 [/B]设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
[B]　　解[/B] 由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，
　　所以 p2＋16p+13=30，
p=1(p=-17舍去)．
　　由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，
　　所以
　　　　g(x)=x2+16x+13-f(x)
　　　　　　=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．
　　由于g(x)的最小值是-2，于是

　　解得a=-2，从而
g(x)=3x2＋12x＋10．
　　[B]3．分式函数的最大值与最小值[/B]
　　

法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．
　　

[B]　　解[/B] 去分母、整理得
(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．
　　

△≥0，即
△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，
　　解得　　　　　-4≤y≤1．
　　

时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．
[B]　　说明[/B] 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．
　　

[B]　　解[/B] 将原函数去分母，并整理得
yx2-ax＋(y-b)＝0．
　　因x是实数，故
△=(-a)2-4?y?(y-b)≥0，
　　

　　由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　y2-3y-4≤0．　　 ②
　　由①，②得
　　　　　


　　

　　所以a=±4，b=3．
　　[B]4．其他函数的最大值与最小值[/B]
　　处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．
　　

[B]　　解[/B] 先估计y的下界．

　　又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．
[B]　　说明[/B] 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：

　　但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．
[B]　　例10 [/B]设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．
[B]　　分析[/B] 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．
　　

　　又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．
[B]　　例11 [/B]求函数
　　　　　　　　　

　　的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．
　　

　
　　

　

　
　　

[B]
练习七
[/B]
　　1．填空：
　　(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．
　　


　　(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．
　　

是_______．
　　(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．
　　

　　2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．
　　3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．
　　4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．
　　

交点间的距离的平方最小，求m的值．
　　6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．