第十讲 一元二次不等式的解法

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形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系，a＞0的情况如表10．1所示。

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　　a＜0时，可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变)，化为上述情况．
　　本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧．
　　[B]1．含参数的不等式的解法[/B]
[B]　　例1 [/B]设a为参数，解关于x的一元二次不等式
x2(a+3)x+3a＜0．
[B]　　解[/B] 分解因式
(x-3)(x-a)＜0．
　　(1)若a＞3，解为3＜x＜a；
　　(2)若a＜3，解为a＜x＜3；
　　(3)若a=3，原不等式变成(x-3)2＜0，无解．
[B]　　例2 [/B]设a为参数，解关于x的一元二次不等式ax2-(a+1)x+1＜0．
[B]　　解[/B] (1)a=0，原不等式为-x+1＜0，解为x＞1．
　　(2)a≠0，分解因式得
　　　　　　　　　　　

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　　①若a＞0，则
　　　　　　　　　　　

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　　②若a＜0，则
　　　　　　　　　　　

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[B]　　例3 [/B]对一切实数x，不等式ax2+(a-6)x+2＞0恒成立，求a的值．
[B]　　解[/B] 由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足

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　　即
　　　　　　　　

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　　所以 2＜a＜18．
[B]　　例4 [/B]设有不等式
　　　　　　　　　

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　　试求对于满足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范围．
[B]　　解[/B] 令y=x2-3x+2，0≤x≤2，则在0≤x≤2上y能取到的最小

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　　所以
　　　　　　　　　

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　　[B]2．含绝对值的不等式[/B]
[B]　　例5 [/B]解不等式x2-x-5＞|2x-1|．
　　

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x2-x-5＞2x-1，
　　即　　　　　　x2-3x-4＞0，
　　

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　　　　　　　　　　　　　　　x2-x-5＞1-2x，
　　即　　　　　　　　　x2+x-6＞0，
　　

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　　综上所述，原不等式的解为x＜-3或x＞4．
[B]　　例6 [/B]解不等式|x2-2x-3|＞2．
[B]　　解[/B] |y|＞2，即y＞2或y＜-2，所以，可以把原不等式分为两个不等式：
x2-2x-3＞2， ①
x2-2x-3＜-2． ②
　　解①得
　　　　　　　　　

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　　综合上述两个不等式的解，原不等式的解为(图3－13)

　

　　[B]3．可化为一元二次不等式来解的不等式[/B]
[B]　　例7 [/B]解不等式
　　　　　　　　　　

　　　　
[B]　　解[/B] 原不等式可化为
　　　　　　　　　　　　


　　


　　

(x-1)(x+1)＞0，
　　所以 　　　　　　　x＜-1或x＞1．
[B]　　例8 [/B]解不等式
　　　　　　　

　
[B]　　解[/B] 首先，由
　　　　　　　　

　　得-1≤x≤3．将原不等式变形为


　　由于上式两边均非负，故两边平方后、整理得
　


　　

(7-8x)2＞16(x+1)，
　　所以 64x2-128x+33＞0，
　


　　

[B]　　例9 [/B]设a＞0，解不等式

　
[B]　　解[/B] 因为a＞0，①的左端非负，因此x+1≥0．下面分两种情形讨论．
　　(1)x≥0时，①式左右两边平方得
a2x≤(x+1)2，
　　整理得
x2+(2-a2)x+1≥0． ②
　　因为△=(2-a2)2-4=a2(a2-4)，所以a＜2时，△＜0，②对一切x≥0成立．a≥2时，△≥0，x2+(2-a2)x+1有实根，而且两根的积为1，和为非负数a2-2，所以两根均为正．②的解为

　　及

　　(2)-1≤x＜0时，①式变为

　　
　　③式两边平方、整理得
x2+(a2+2)x+1≥0． ④
　　因为△=(a2+2)2-4＞0，所以x2+(a2+2)x+1有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负．由于两根积为1，较小的根小于-1，较大的根大于-1，所以④的解为

　　综合(1)，(2)，原不等式的解为：
　　当a≥2时，
　　　　

　　及
　　　　

　　当0＜a＜2时，
　　　　

[B]
练习十
[/B]
　　1．填空：
　　(1)不等式5x-3x2-2＞0的解为______．
　　(2)不等式42x2+ax＜a2的解为______．
　　(3)不等式x2-4|x|+3＞0的解为______．
　　

　
　　

　　(8)若对任何实数x，不等式kx2-(k-2)x+k＞0恒成立，则k的取值范围是____．
　　2．解不等式x4-3x2+2＜0．
　　3．解关于x的不等式
　　　　　　　　　　　

　
　　4．不等式
　　　　　　　

　　对一切x都成立，求k的取值范围．
　　5．a为何值时，只有一个x值满足不等式
0＜x2+ax+5≤4．