和同学们谈谈问题推广
题目：已知：如图1，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。解：∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠DBC
，
∠OCB=
∠ACB。
∵∠O+∠OBC+∠OCB=
，
∴∠O+
，
又∵∠ABC+∠ACB=
-∠A，
∴∠O+
，
整理得：∠O=
。
一、变更数量关系推广
推广1：如图2，在△ABC中，∠ABO=
，∠ACO=
，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
解：∵∠ABO=
，
∠ACO=
，
∴∠CBO=
，∠BCO=
，
又∵∠O+∠OBC+∠OCB=
，
∴∠O+
，又∵
，
∴∠O+
，整理得：
。
推广2：如图2，在△ABC中，∠ABO=
，∠ACO=
，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
仿照上述思路可得：∠O=
。
推广3：如图2，在△ABC中，∠ABO=
，
/collect/20160727/103153AR-24.gif
（其中
/collect/20160727/1031531c3-25.gif
），试探求∠A与∠O之间的数量关系。
答：∠A与∠O之间的数量关系为：∠O=
/collect/20160727/1031531104-26.gif
。
二、变更图形推广
1. 将内角改为外角
推广4：如图3，在△ABC中，BO是∠ABC的平分线，CO是三角形的外角∠ACD的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
/collect/20160727/182-12020G0293T12.jpg
解：∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACD的平分线，
∴∠OBD=
/collect/20160727/10315349A-28.gif
，∠OCD=
/collect/20160727/10315335Y-29.gif
，
又∵∠OCD=∠OBD+∠O，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴
/collect/20160727/1031535S9-30.gif
，
∴
/collect/20160727/1031536430-31.gif
，
整理得：
/collect/20160727/1031533263-32.gif
。
推广5：如图4，在△ABC中，BO、CO分别是三角形的外角∠DBC、∠ECB的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
/collect/20160727/182-12020G02950291.jpg
略解：
∠A=
/collect/20160727/1031532X2-34.gif
，
∠O
/collect/20160727/1031533529-35.gif
/collect/20160727/1031533E1-36.gif
，
联立两式，得：
/collect/20160727/1031535P5-37.gif
。
2. 将线段改为折线
推广6：如图5、6，将线段BC改为折线BDC，BO、CO分别是∠ABD、∠ACD的平分线，请探求∠A、∠O、∠D之间的数量关系。
/collect/20160727/182-12020G03014424.jpg
/collect/20160727/182-12020G03026238.jpg
解：对于图5，连接BC，设∠DBC+∠DCB=
/collect/20160727/1031535N6-40.gif
，则∠D+
/collect/20160727/1031535N6-40.gif
=
，
∠O+
/collect/20160727/103153J95-43.gif
，∠A+
/collect/20160727/1031535N6-40.gif
+（∠ABD+∠ACD）=
。
联立以上三式可得：
/collect/20160727/1031531505-46.gif
，
对于图6有：∠O=
/collect/20160727/103153H57-47.gif
，请自证。
把两种推广方式结合起来，还可对该题做更进一步推广，例如将推广1与推广4结合可以得到推广7。
推广7：如图7，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，∠ABO=
/collect/20160727/1031535627-48.gif
∠ABC，∠ACO=
/collect/20160727/1031535627-48.gif
∠ACD，
试探求∠A与∠O之间的数量关系。
请仿照上述解法，自己求解，结论是：∠O=
/collect/20160727/1031535627-48.gif
∠A。
将推广3与推广4结合可以得到推广8：
推广8：如图7，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，∠ABO=
，∠ACO=
/collect/20160727/1031531E2-52.gif
，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
/collect/20160727/182-12020G0303V17.jpg
显然，推广8也可以看作将推广7的结论一般化得到，结论是：∠O=
/collect/20160727/103153E04-54.gif
∠A。
类似的，还可以做更多形式的推广，有兴趣的同学不妨试一试，你还可以和同学们在一起，比一比看谁做的推广更多，更有趣。
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