和同学们谈谈问题推广

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题目：已知：如图1，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
       

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        解：∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
        ∴∠DBC

1031531161-1.gif

，
        ∠OCB=

103153B95-2.gif

∠ACB。
        ∵∠O+∠OBC+∠OCB=

1031536438-3.gif

，
        ∴∠O+

1031536251-4.gif

，
        又∵∠ABC+∠ACB=

-∠A，
        ∴∠O+

1031531048-6.gif

，
        整理得：∠O=

10315360R-7.gif

。
        一、变更数量关系推广
            推广1：如图2，在△ABC中，∠ABO=

1031535928-8.gif

，∠ACO=

103153J96-9.gif

，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
       

182-12020G02924N3.jpg

        解：∵∠ABO=

，
        ∠ACO=

，
        ∴∠CBO=

1031534519-13.gif

，∠BCO=

1031532164-14.gif

，
        又∵∠O+∠OBC+∠OCB=

，
        ∴∠O+

1031532345-16.gif

，又∵

1031534416-17.gif

，
        ∴∠O+

1031532010-18.gif

，整理得：

1031535294-19.gif

。
        推广2：如图2，在△ABC中，∠ABO=

103153F11-20.gif

，∠ACO=

1031532003-21.gif

，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
        仿照上述思路可得：∠O=

1031534319-22.gif

。
        推广3：如图2，在△ABC中，∠ABO=

1031535N4-23.gif

，

（其中

），试探求∠A与∠O之间的数量关系。
        答：∠A与∠O之间的数量关系为：∠O=

。
         
        二、变更图形推广
          1. 将内角改为外角
        推广4：如图3，在△ABC中，BO是∠ABC的平分线，CO是三角形的外角∠ACD的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
       

        解：∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACD的平分线，
        ∴∠OBD=

，∠OCD=

，
        又∵∠OCD=∠OBD+∠O，∠ACD=∠ABC+∠A，
        ∴

，
        ∴

，
        整理得：

。
        推广5：如图4，在△ABC中，BO、CO分别是三角形的外角∠DBC、∠ECB的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
       

        略解：
        ∠A=

，
        ∠O

       

，
        联立两式，得：

。
          2. 将线段改为折线
        推广6：如图5、6，将线段BC改为折线BDC，BO、CO分别是∠ABD、∠ACD的平分线，请探求∠A、∠O、∠D之间的数量关系。
         


        解：对于图5，连接BC，设∠DBC+∠DCB=

，则∠D+

=

，
        ∠O+

，∠A+

+（∠ABD+∠ACD）=

。
        联立以上三式可得：

，
        对于图6有：∠O=

，请自证。
        把两种推广方式结合起来，还可对该题做更进一步推广，例如将推广1与推广4结合可以得到推广7。
        推广7：如图7，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，∠ABO=

∠ABC，∠ACO=

∠ACD，
        试探求∠A与∠O之间的数量关系。
        请仿照上述解法，自己求解，结论是：∠O=

∠A。
        将推广3与推广4结合可以得到推广8：
        推广8：如图7，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，∠ABO=

，∠ACO=

，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
       

        显然，推广8也可以看作将推广7的结论一般化得到，结论是：∠O=

∠A。
        类似的，还可以做更多形式的推广，有兴趣的同学不妨试一试，你还可以和同学们在一起，比一比看谁做的推广更多，更有趣。