巧添平行线 多法证一题
证线段成比例，往往要通过添平行辅助线，构成人教版《几何》第二册214页的图5—9、5—10的两个基本图形，即“”型和“
”型图形，再利用平行线分线段成比例定理进行证明。但在具体的证题过程中，到底过哪一点作平行线恰当，不少同学感到茫然。这里向同学们介绍一个添平行线的方法：以比例式的一边为基准，若前、后项的两条线段有公共端点且在同一直线上，则就把这两条线段的三个端点，分别看成某一三角形一边的两个端点和一个内（外）分点，经过这三点都可作两条平行线。（但过分点作平行线，往往会使证明过程变复杂）。现以《几何》第二册255页第17题为例说明如下。
题目：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
求证：AE：ED=2AF：FB
分析：要证明的比例式中的线段AE、ED和AF、FB，都是有公共端点且各在同一直线上，E、F分别是AD和AB的内分点，所以，至少可以分别过A、E、D、F、B各作两条平行线（如图1—9），同时，考虑到AD是中线，还可以过C点作平行线（如图10—11）。另外，根据题设条件，不添辅助线，直接用梅勒劳斯定理也可证明。这样就得到该题的12种证法。
证法1：如图1，过点A作AG//BC，交CF的延长线于G。
则：
而
，所以
图1
证法2：如图2，过点A作AG//FC，交BC的延长线于G。
则：
而
所以
即：
图2
证法3：如图3，过点E作EG//AB，交BC于G。
则：
①
②
③
得：
而
所以
所以
即：
图3
证法4：如图4，过点D作DG//AB，交CF于G。
则：
所以
/collect/20160727/1Z4053064-22.gif
/collect/20160727/1Z4051015-23.jpg
图4
证法5：如图5，过点D作DG//CF，交AB于G。
则：
/collect/20160727/1Z40534Q-24.gif
所以
/collect/20160727/1Z4055W4-25.gif
/collect/20160727/1Z4051049-26.jpg
图5
证法6：如图6，过点F作FG//BC，交AD于G。
则：
/collect/20160727/1Z405M34-27.gif
所以
/collect/20160727/1Z4052145-28.gif
所以
即
/collect/20160727/1Z4053125-31.jpg
图6
证法7：如图7，过点F作FG//AD交BC于G。
则：
/collect/20160727/1Z405D28-32.gif
①
/collect/20160727/1Z4052b0-33.gif
②
/collect/20160727/1Z405EB-34.gif
③
得：
/collect/20160727/1Z4054H1-36.gif
而
/collect/20160727/1Z40550W-37.gif
所以
/collect/20160727/1Z40555K-38.gif
所以
/collect/20160727/1Z405J96-39.gif
从而
/collect/20160727/1Z4053J1-41.jpg
图7
证法8：如图8，过点B作BG//AD，交CF的延长线于G。
则：
/collect/20160727/1Z4056020-42.gif
所以
/collect/20160727/1Z4052X2-43.gif
即
/collect/20160727/1Z40532a-45.jpg
图8
证法9：如图9，过点B作BG//CF交AD的延长线于G。
则：
/collect/20160727/1Z4053500-46.gif
即
/collect/20160727/1Z4051O0-47.gif
所以
/collect/20160727/1Z4055547-48.gif
即：
/collect/20160727/1Z4054S4-50.jpg
图9
证法10：如图10，过点C作CG//AB，交AD的延长线于G，连结CG。
则易证CG=AB，DG=AD
所以
/collect/20160727/1Z40564R-51.gif
而EG=ED+DG=ED+AD=AE+2ED
所以
/collect/20160727/1Z4051944-52.gif
所以
即：
/collect/20160727/1Z4052Q4-55.jpg
图10
证法11：如图11，过点C作CG//DA交BA的延长线于G。
则易证：AG=AB，CG=2AD
所以
/collect/20160727/1Z4055915-56.gif
而FG=AF+AG=AF+AB
所以
/collect/20160727/1Z4055338-57.gif
所以
/collect/20160727/1Z4054Q0-58.gif
即：
/collect/20160727/1Z405G07-60.jpg
图11
证法12：如图12，可看成直线FE分别截△ABD的三边于F、C、E，则由梅勤劳斯定理立即可得：
/collect/20160727/1Z40552S-61.gif
而
/collect/20160727/1Z4055212-62.gif
所以
/collect/20160727/1Z4055938-64.jpg
图12
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