巧添平行线 多法证一题

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证线段成比例，往往要通过添平行辅助线，构成人教版《几何》第二册214页的图5—9、5—10的两个基本图形，即“

1Z4054E5-0.gif

”型和“

1Z405GE-1.gif

”型图形，再利用平行线分线段成比例定理进行证明。但在具体的证题过程中，到底过哪一点作平行线恰当，不少同学感到茫然。这里向同学们介绍一个添平行线的方法：以比例式的一边为基准，若前、后项的两条线段有公共端点且在同一直线上，则就把这两条线段的三个端点，分别看成某一三角形一边的两个端点和一个内（外）分点，经过这三点都可作两条平行线。（但过分点作平行线，往往会使证明过程变复杂）。现以《几何》第二册255页第17题为例说明如下。
            题目：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
            求证：AE：ED=2AF：FB
        分析：要证明的比例式中的线段AE、ED和AF、FB，都是有公共端点且各在同一直线上，E、F分别是AD和AB的内分点，所以，至少可以分别过A、E、D、F、B各作两条平行线（如图1—9），同时，考虑到AD是中线，还可以过C点作平行线（如图10—11）。另外，根据题设条件，不添辅助线，直接用梅勒劳斯定理也可证明。这样就得到该题的12种证法。
        证法1：如图1，过点A作AG//BC，交CF的延长线于G。
        则：

1Z4051F3-2.gif

        而

1Z405I35-3.gif

，所以

1Z40544I-4.gif

       

1Z4052223-5.jpg

        图1
        证法2：如图2，过点A作AG//FC，交BC的延长线于G。
        则：

1Z4052037-6.gif

        而

1Z4051M3-7.gif

        所以

1Z405O10-8.gif

        即：

       

1Z4052J0-10.jpg

        图2
        证法3：如图3，过点E作EG//AB，交BC于G。
        则：

1Z40552S-11.gif

                          ①
       

1Z4051141-12.gif

                                ②
       

1Z405M96-13.gif

                            ③
       

1Z4051220-14.gif

得：

1Z4055445-15.gif

        而

1Z405G05-16.gif

        所以

1Z40521J-17.gif

        所以

1Z405MH-18.gif

        即：

       

1Z4054928-20.jpg

        图3
        证法4：如图4，过点D作DG//AB，交CF于G。
        则：

1Z4054R5-21.gif

        所以

       

        图4
        证法5：如图5，过点D作DG//CF，交AB于G。
        则：

        所以

       

        图5
        证法6：如图6，过点F作FG//BC，交AD于G。
        则：

        所以

        所以

        即

       

        图6
        证法7：如图7，过点F作FG//AD交BC于G。
        则：

                          ①
       

                                ②
       

                                 ③
       

得：

        而

        所以

        所以

        从而

       

        图7
        证法8：如图8，过点B作BG//AD，交CF的延长线于G。
        则：

        所以

        即

       

        图8
        证法9：如图9，过点B作BG//CF交AD的延长线于G。
        则：

        即

        所以

        即：

       

        图9
        证法10：如图10，过点C作CG//AB，交AD的延长线于G，连结CG。
        则易证CG=AB，DG=AD
        所以

        而EG=ED+DG=ED+AD=AE+2ED
        所以

        所以

        即：

       

        图10
        证法11：如图11，过点C作CG//DA交BA的延长线于G。
        则易证：AG=AB，CG=2AD
        所以

        而FG=AF+AG=AF+AB
        所以

        所以

        即：

       

        图11
        证法12：如图12，可看成直线FE分别截△ABD的三边于F、C、E，则由梅勤劳斯定理立即可得：
       

        而

        所以

       

        图12
         
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