代数式最值的求法
求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。一. 配方法
例1. 设a、b为实数，那么
的最小值是___________。
解：
因为
，
所以当
且
即
且
时，式子
的值最小，最小值为－1。
二. 计算法
例2. 已知：
，
/collect/20160727/1950445I3-12.gif
，
/collect/20160727/195044D47-13.gif
，则
/collect/20160727/195044L34-14.gif
的最小值为（ ）
A.
/collect/20160727/1950444B2-15.gif
B.
/collect/20160727/195044A00-16.gif
C.
/collect/20160727/19504415B-17.gif
D.
/collect/20160727/1950444112-18.gif
解：由
解得
因为
所以只要
最小，
/collect/20160727/195044L34-14.gif
就最小，通过计算当
，
；或
时
最小，最小值为
所以
/collect/20160727/195044L34-14.gif
的最小值为
故选B
注：也可把a、b、c的值直接代入
/collect/20160727/195044L34-14.gif
通过计算并比较，从而求出其最小值。
三. 消元法
例3. 已知：
/collect/20160727/1950445494-33.gif
，则
/collect/20160727/1950445143-34.gif
的最大值是___________，最小值是_________。
解：由
/collect/20160727/1950445494-33.gif
得
/collect/20160727/1950446448-36.gif
所以
/collect/20160727/1950444W9-37.gif
所以
/collect/20160727/1950444P1-38.gif
所以
/collect/20160727/195044C48-39.gif
/collect/20160727/195044M11-40.gif
/collect/20160727/19504460B-41.gif
所以当
/collect/20160727/1950441063-42.gif
时，
/collect/20160727/1950445143-34.gif
的最大值为
/collect/20160727/1950445M9-44.gif
；当
/collect/20160727/1950442I2-45.gif
时，
/collect/20160727/1950445143-34.gif
的最小值为－2。
四. 构造法
例4. 求
/collect/20160727/19504454T-47.gif
的最大值。
解：原式可变形为
/collect/20160727/1950441509-48.gif
其中
/collect/20160727/195044M31-49.gif
可以看成是以
/collect/20160727/195044B09-50.gif
，
/collect/20160727/195044FQ-51.gif
为直角边的直角三角形的斜边长，
/collect/20160727/1950442F8-52.gif
可以看成是以
/collect/20160727/195044B09-50.gif
，
/collect/20160727/1950443b6-54.gif
为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。
/collect/20160727/1950446441-55.gif
图1
当C点与D点不重合时，即
/collect/20160727/1950444M8-56.gif
时，在
/collect/20160727/1950441F8-57.gif
中有
/collect/20160727/195044G07-58.gif
即
/collect/20160727/1950445F0-59.gif
当C点与D点重合时，即
/collect/20160727/19504415N-60.gif
时
/collect/20160727/195044KI-61.gif
所以当
/collect/20160727/19504415N-60.gif
时即
/collect/20160727/1950442493-63.gif
时y取最大值
/collect/20160727/195044J62-64.gif
。
五. 坐标法
例5. 已知：
/collect/20160727/19504411Q-65.gif
，求：
/collect/20160727/1950441D3-66.gif
的最小值。
解：如图2，建立直角坐标系，
/collect/20160727/19504411Q-65.gif
的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。
/collect/20160727/1950442200-68.gif
图2
设P（x，y）是直线
/collect/20160727/19504411Q-65.gif
上的一动点，由勾股定理知
/collect/20160727/1950441D3-66.gif
表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当
/collect/20160727/1950444I7-71.gif
时，
/collect/20160727/1950441D3-66.gif
最小。
作
/collect/20160727/195044HZ-73.gif
，垂足为C。
因为
/collect/20160727/195044JE-74.gif
所以
/collect/20160727/1950445E0-75.gif
所以
/collect/20160727/1950441D3-66.gif
的最小值为
/collect/20160727/195044L38-77.gif
。
六. 换元法
例6. 求
/collect/20160727/195044C38-78.gif
的最大值。
解：因为
/collect/20160727/1950442095-79.gif
，所以
/collect/20160727/19504421M-80.gif
则可设
/collect/20160727/195044DE-81.gif
所以
/collect/20160727/1950441195-82.gif
所以当
/collect/20160727/19504422G-83.gif
，即
/collect/20160727/19504442P-84.gif
时，
/collect/20160727/195044C38-78.gif
有最大值1。
七. 利用基本不等式法
例7. 若
/collect/20160727/1950442257-86.gif
，那么代数式
/collect/20160727/1950441952-87.gif
的最小值是_____________。
解：当
/collect/20160727/19504431Q-88.gif
时
因为
/collect/20160727/1950441S3-89.gif
所以
/collect/20160727/195044C08-90.gif
即
/collect/20160727/1950443515-91.gif
因为
/collect/20160727/1950442539-92.gif
所以
/collect/20160727/1950445549-93.gif
所以
/collect/20160727/1950441952-87.gif
的最小值为1。
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