代数式最值的求法

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求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。
       
                一. 配方法
       
                例1. 设a、b为实数，那么

19504431a-0.gif

的最小值是___________。
       
                解：

       
               

1950444414-2.gif

       
               

195044F61-3.gif

       
                因为

195044D06-4.gif

，

1950442136-5.gif

       
                所以当

1950441019-6.gif

且

1950444K9-7.gif

       
                即

195044A17-8.gif

且

1950442521-9.gif

时，式子

的值最小，最小值为－1。
       
                二. 计算法
       
                例2. 已知：

1950443E0-11.gif

，

，

，则

的最小值为（ ）
       
                A.

B.

       
                C.

D.

       
                解：由

195044A59-19.gif

       
                解得

1950444921-20.gif

       
                因为

195044M36-21.gif

       
               

1950445C8-22.gif

       
                所以只要

1950442556-23.gif

最小，

就最小，通过计算当

195044E46-25.gif

，

195044F95-26.gif

；或

1950442916-27.gif

时

最小，最小值为

1950443a4-29.gif

       
                所以

的最小值为
       
               

1950442530-31.gif

       
                故选B
       
                注：也可把a、b、c的值直接代入

通过计算并比较，从而求出其最小值。
       
                三. 消元法
       
                例3. 已知：

，则

的最大值是___________，最小值是_________。
       
                解：由

得

       
                所以

       
                所以

       
                所以

       
               

       
               

       
                所以当

时，

的最大值为

；当

时，

的最小值为－2。
       
                四. 构造法
       
                例4. 求

的最大值。
       
                解：原式可变形为
       
               

       
                其中

可以看成是以

，

为直角边的直角三角形的斜边长，

可以看成是以

，

为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。
       
               

       
                图1
       
                当C点与D点不重合时，即

时，在

中有

       
                即

       
                当C点与D点重合时，即

时
       
               

       
                所以当

时即

时y取最大值

。
       
                五. 坐标法
       
                例5. 已知：

，求：

的最小值。
       
                解：如图2，建立直角坐标系，

的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。
       
               

       
                图2
       
                设P（x，y）是直线

上的一动点，由勾股定理知

表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当

时，

最小。
       
                作

，垂足为C。
       
                因为

       
                所以

       
                所以

的最小值为

。
       
                六. 换元法
       
                例6. 求

的最大值。
       
                解：因为

，所以

       
                则可设

       
                所以

       
                所以当

，即

时，

有最大值1。
       
                七. 利用基本不等式法
       
                例7. 若

，那么代数式

的最小值是_____________。
       
                解：当

时
       
                因为

       
                所以

       
                即

       
                因为

       
                所以

       
                所以

的最小值为1。
       
                  
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