巧构图妙解题
对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看：例1. 已知a，b，c，d都是正数，并且
。
求证：
证明：作
和
，使斜边
，
，
（如图1）。
图1
由
得：
又
所以
又
所以
即
例2. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少？
解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB
图2
设AC＝x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB
设BD＝x＋4，表示乙的行驶速度，在AB上，取
，表示甲在40分钟所行的路程，
⊥AB，且
＝x，连结
与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点，于是
由
，得
/collect/20160727/1345452c4-22.gif
解得：
/collect/20160727/134545J95-23.gif
（舍去）
于是
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即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
例3. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。
/collect/20160727/1345452021-25.gif
图3
解：如图3，画两条直线分别表示甲、乙的年龄，设乙现在的年龄为x岁，从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时，乙为4岁；当乙为x岁时，甲为
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/collect/20160727/1345456460-27.gif
岁；当乙为
/collect/20160727/1345456460-27.gif
岁时，甲为61岁。
根据甲、乙的年龄差不变，可得
/collect/20160727/1345451D7-29.gif
解得：
/collect/20160727/1345453M5-30.gif
所以
/collect/20160727/1345455246-31.gif
答：甲现在42岁，乙现在23岁。
例4. 设a，b，c都是正实数，求证：
/collect/20160727/1345453000-32.gif
证明：
/collect/20160727/1345456095-33.gif
时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设
/collect/20160727/1345453961-34.gif
，这时要证的不等式转化为
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。
/collect/20160727/1345452P6-36.gif
图4
作△ABC（如图4），CA＝CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得
/collect/20160727/134545N32-37.gif
，由勾股定理得：
/collect/20160727/134545FJ-38.gif
又
/collect/20160727/1345452N1-39.gif
在△CBE中，
/collect/20160727/1345454562-40.gif
即
/collect/20160727/1345454132-41.gif
综上，命题得证。
例5. 设a，b，c，d均为正数，满足
/collect/20160727/1345454V5-42.gif
，且a为最大。求证：
/collect/20160727/1345454a6-43.gif
。
证明：不妨取线段
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，在AC上取一点B，使
/collect/20160727/13454563b-45.gif
，则
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，以BC为直径作⊙O，如图5。
/collect/20160727/1345454b0-47.gif
图5
设
/collect/20160727/1345455M2-48.gif
，作割线（或切线）
/collect/20160727/13454532L-49.gif
交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足。
因为
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即
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因为
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，所以
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又
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/collect/20160727/1345455296-55.gif
在
/collect/20160727/134545NJ-56.gif
中，AO＞AF
所以即有
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