巧构图妙解题

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对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看：
       
                例1. 已知a，b，c，d都是正数，并且

134545G21-0.gif

。
       
                求证：

1345451951-1.gif

       
                证明：作

134545O51-2.gif

和

1345455046-3.gif

，使斜边

13454520Y-4.gif

，

13454535N-5.gif

，

1345451031-6.gif

（如图1）。
       
               

1345452323-7.gif

       
                图1
       
                由

1345453X4-8.gif

得：

13454532J-9.gif

       
                又

1345453I4-10.gif

       
                所以

1345453b1-11.gif

       
                又

134545C18-12.gif

       
                所以

1345452D1-13.gif

       
                即

       
                例2. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少？
       
                解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB
       
               

1345453Y2-15.gif

       
                图2
       
                设AC＝x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB
       
                设BD＝x＋4，表示乙的行驶速度，在AB上，取

1345453B3-16.gif

，表示甲在40分钟所行的路程，

13454531F-17.gif

⊥AB，且

＝x，连结

1345451a4-19.gif

与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点，于是
       
               

1345454011-20.gif

       
                由

1345454304-21.gif

，得

       
                解得：

（舍去）
       
                于是

       
                即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
       
                例3. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。
       
               

       
                图3
       
                解：如图3，画两条直线分别表示甲、乙的年龄，设乙现在的年龄为x岁，从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时，乙为4岁；当乙为x岁时，甲为



岁；当乙为

岁时，甲为61岁。
       
                根据甲、乙的年龄差不变，可得
       
               

       
                解得：

       
                所以

       
                答：甲现在42岁，乙现在23岁。
       
                例4. 设a，b，c都是正实数，求证：

       
                证明：

时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设

，这时要证的不等式转化为

。
       
               

       
                图4
       
                作△ABC（如图4），CA＝CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得

，由勾股定理得：
       
               

       
                又

       
                在△CBE中，

       
                即

       
                综上，命题得证。
       
                例5. 设a，b，c，d均为正数，满足

，且a为最大。求证：

。
       
                证明：不妨取线段

，在AC上取一点B，使

，则

，以BC为直径作⊙O，如图5。
       
               

       
                图5
       
                设

，作割线（或切线）

交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足。
       
                因为

       
                即

       
                因为

，所以

       
                又

       
               

       
                在

中，AO＞AF
       
                所以即有

       
                  
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