中考网 发表于 2016-7-27 00:18:12

中学趣味数学:没有放上的数字

  有人把0~9这十个数字中的九个用字母代表,如上图那样放在两个三角形的每一个周围。
       
               

       
                  (1)三角形各边上四个数字之和为14。
       
                   (2)在第一个三角形中没有放上的数字,不同于在第二个三角形中没有放上的数字。
       
                  在两个三角形中没有放上的是十个数字中的哪两个?
       
                  (提示:建立一个方程,把没有放上的数字同三个角上的数字之和联系起来。(注意把三条边上的数字之和加起来时,三个角上的数字用了两次。)然后,根据可能的三个角数字之和,判定各个角上的可能的数字。最后判定放在各个角之间的数字。)
       
                  答 案
       
                  根据(I),
       
                  (A+B+C+D)+(D+E+F+G)+(G+H+I+A)
       
                  =14+14+14,即
       
                    2A+2D+2C+B+C+E+F+H+I=42
       
                    0~9这十个数字之和为45;因此,如果以J代表没有放上的数字,则
       
                    A+B+C+D+E+F+G+H+I=45-J。
       
                    从第一个方程中减去第二个方程,得到:
       
                    A+D+G=J-3。
       
                    由于A+D+C至少等于3,而J最多等于9,只可能有以下的情况:
       
               
       
               
                       
                               
                                       
                                                A+D+G
                               
                               
                                       
                                                J
                               
                       
                       
                               
                                       
                                        (i)
                               
                                       
                                        3
                               
                                       
                                        6
                       
                       
                               
                                       
                                        (ii)
                               
                                       
                                        4
                               
                                       
                                        7
                       
                       
                               
                                       
                                        (iii)
                               
                                       
                                        5
                               
                                       
                                        8
                       
                       
                               
                                       
                                        (iv)
                               
                                       
                                        6
                               
                                       
                                        9
                       
               
       
       
               
       
                  于是,以下情况中必然有一种会发生:
       
               

       
               
       
                从而得到:
       
               

       
               
       
                  由此可见,只有(i)和(ii)能继续补上数字而不致发生重复,
       
                  即:
       
               

       
                  因此,根据(2),6和7分别是两个三角形中没被放上的数字。
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