第二讲 无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程
解 移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2＋3x-28＝0，
所以 x1=4，x2=-7．
经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．
说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
例2 解方程
方公式将方程的左端配方．将原方程变形为
所以
两边平方得
3x2+x=9-6x＋x2，
两边平方得
3x2+x=x2＋6x＋9，
例3 解方程
即
所以
移项得
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例4 解方程
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解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为
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配方得
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利用非负数的性质得
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所以 x=1，y=2，z=3．
经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．
例5 解方程
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所以
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将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy-8=0，
(xy＋4)(xy-2)=0．
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xy=2． ③
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例6 解方程
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解 观察到题中两个根号的平方差是13，即
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②÷①便得
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由①，③得
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例7 解方程
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分析与解 注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．
设
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则
u2-v2＝w2-t2， ①
u+v=w+t． ②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
u-v=w-t． ③
②＋③得u=w，即
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解得x=-2．
经检验，x=-2是原方程的根．
例8 解方程
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整理得 y3-1=(1-y)2，
即 (y-1)(y2+2)=0．
解得y=1，即x=-1．
经检验知，x=-1是原方程的根．
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整理得 y3-2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=-1．
例9 解方程
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边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
根据合分比定理得
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两边平方得
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再用合分比定理得
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化简得x2=4a2．解得x=±2a．
经检验，x=±2a是原方程的根．
练习二
1．填空：
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2．解方程
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3．解方程
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4．解方程
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5．解方程
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6．解关于x的方程
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