未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．
[B] 例1 [/B]解方程
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[B] 解[/B] 移项得
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两边平方后整理得
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再两边平方后整理得
x2＋3x-28＝0，
所以 x1=4，x2=-7．
经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．
[B] 说明[/B] 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
[B] 例2 [/B]解方程
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方公式将方程的左端配方．将原方程变形为
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所以
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两边平方得
3x2+x=9-6x＋x2，
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两边平方得
3x2+x=x2＋6x＋9，
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[B] 例3 [/B]解方程
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即
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所以
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移项得
[B] 例4 [/B]解方程
[B] 解[/B] 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以 x=1，y=2，z=3．
经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．
[B] 例5 [/B]解方程
所以
将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy-8=0，
(xy＋4)(xy-2)=0．
xy=2． ③
[B] 例6 [/B]解方程
[B] 解[/B] 观察到题中两个根号的平方差是13，即
②÷①便得
由①，③得
[B] 例7 [/B]解方程
[B] 分析与解[/B] 注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．
设
则
u2-v2＝w2-t2， ①
u+v=w+t． ②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
u-v=w-t． ③
②＋③得u=w，即
解得x=-2．
经检验，x=-2是原方程的根．
[B] 例8 [/B]解方程
整理得 y3-1=(1-y)2，
即 (y-1)(y2+2)=0．
解得y=1，即x=-1．
经检验知，x=-1是原方程的根．
整理得 y3-2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=-1．
[B] 例9 [/B]解方程
边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2=4a2．解得x=±2a．
经检验，x=±2a是原方程的根．
[B]
练习二
[/B]
1．填空：
2．解方程
3．解方程
4．解方程
5．解方程
6．解关于x的方程
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发表于 2016-8-22 09:41:53