新东方名师讲解：数学最短路线问题解析与拓展

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　　【新东方网编者按】为了让考生更有针对性的应对2012年中考，新东方网中考频道特邀一批深悉中考题型脉络，同时又掌握考生易错点的新东方优能中学一线名师，针对不同题型进行精准定位、方法解析，希望能给参加2012年高考的考生带来便利。
        　　一、引言
        　　两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
        　　对于此问题，可以将河岸看作一根直线l，选择A点或B点中任意一点作其关于直线l的对称点。如图所示，若选择A点作对称点A'，将A'与B点连接起来，与直线l的交点P即是所要求的饮马点。为什么是这样呢？因为对于河岸上任意非P的点P'，其到A'、B两点的距离相当于?A^' P'B的两条边P'B和P'A，而P到这两点的距离之和为AB，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可以得出PA+PB一定是最短问题。
       

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        　　二、引申与变式
        　　对于此问题可以提炼为：若一个动点在直线上运动，一定能找到它到直线同侧两个定点距离之和最小的点。最基本的问题方式就是找使得AP+BP最小的P点位置。而随着学生年级的增加，知识量的扩大，可以引申出不同知识模块下的最短路线问题。
        　　1、 学生学习勾股定理后，可以利用勾股定理求应用题中的最短距离
        　　例1 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
        　　解析：只要读懂题并将其转化成数学表达式，会发现这就是最基本的找AM+BM最短问题。
       

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        　　2、在学习直角坐标系后，可以将最短路线问题跟坐标点结合
        　　例2 在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小。
        　　解析：A、B两点坐标给定也就是固定的，C点横坐标固定而纵坐标未知，也就意味着其在直线x=1上运动，只需要会找对称的坐标点就可以了。
        　　3、在学习了四边形，了解了正方形性质后，可以在正方形内构造最短路线问题
        　　例3 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。
        　　解析：关键是要能判断出来，M点关于AC的对称点是在BC的对应位置上，利用勾股定理很容易求出DM'的长度。
       

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        　　4、在初三学习了圆后，可以将此类问题构造到圆内
        　　例4 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若?O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_________________
        　　解析：本题想到用最短路问题的思路解决并不难。但如何构造对称点，尤其是构造出对称点后，如何求A'B长度是难点。这里观察发现三等分点和中点这样的条件，想到可以找圆心角，从而构造出特殊的等腰直角三角形A'OB。
        　　最短路问题除了随着年级增加而采用不同的知识包装外，其问题本身也可能会进行变式，从而产生一些更有难度的题目。但只要剥离外衣我们就会发现，这仍然是最短路线问题。
        　　对于学生而言，掌握最短路线问题的关键，是要完全理解点的对称。即使问题不是两个定点和一个在直线上运动的动点，但只要是两段距离之和，则都要思考是否可以通过对称，
       

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        　　5、将折线问题转化为直线问题，从而判断出最短距离
        　　例5 如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
        　　解析：此问题的难点是M、N均为动点，会较难联想到用最短路线问题去做。而事实上，由于AD是角平分线，所以N关于AD的对称点一定在AC上，那么BM+MN的最小值可以转化为B到直线AC的最小值，此时显然过B作AC垂线是最短的。
        　　另一种较有代表性的变式方式是，并不直接求两线段的距离之和，而用较为隐晦的方式来表达此意思。例如，问题是求三角形的周长最短。若其中一条边的长度是固定的，其实质还是求两折线的最短距离。
       

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        　　例6 已知：抛物线的对称轴为x=-1，与 轴交于 两点，与 轴交于点 其中 、 （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点 是线段 上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作 交 轴于点 连接 、 ．设 的长为 ， 的面积为 ．求 与 之间的函数关系式．试说明 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
        　　解析：第一问求出抛物线表达式并不难。第二问求 的最短周长，P点其实是在对称轴x=-1上的动点，而B、C分别是定点， 的周长就转化为求PB+PC的最短值。显然，这里B的对称点就是A，直接连接AC就可以得到P点。
       

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        　　三、思考与总结
        　　最短路线问题的出题背景是极其广泛的，可以变式出角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，可以考察的核心知识点包括"两点之间线段最短"，"垂线段最短"，"点关于线对称"，"线段的平移"。近来，还考察有"三折线"转化为"直线"，以及位于直线两侧的两定点和直线上动点之间距离之差最大的问题。对于我们解决这类题而言，无论题目怎么变化，其核心点是万变不离其宗的，这个"宗"就是找点关于线的对称点，从而实现将折线转化为直线的问题。