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“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例1 把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)
例2 把5x²+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解： 因为 1 2
5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4)
例3 解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，
3×5。
解： 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，
则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解： 因为 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
用十字相乘法解一些比较难的题目：
例5 把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,
则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因为 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-(27y+1)x -(28y²-25y+3)
4y -3
7y ╳ -1
=10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)
2 -(7y – 1)
5 ╳ 4y - 3
=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
=(2x -7y +1)(5x +4y -3)
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1)，再用十字相乘法把
10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为：[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3
2 x -7y 1
5 x +4y ╳ -3
=[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3]
=(2x -7y+1)(5x +4y -3)
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].
例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0
1 -b
2 ╳ +b
x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0
1 -(2a+b)
1 ╳ -(a-b)
[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0
所以 x1=2a+b x2=a-b
两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式交点式.利用配方法，把二次函数的一般式变形为 ：
Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]
应用平方差公式对右端进行因式分解，得
Y=a[x+b/2a+√b2-4ac/2a][x+b/2a-√b2-4ac/2a]
=a[x-(-b-√b2-4ac)/2a][x-(-b+√b2-4ac)/2a]
因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a
所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根
因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点(x1，0)，(x2，0)的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式.在解决二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：
设方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2
根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，
有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2
∴y=ax2+bx+c
=a[x2+b/a*x+c/a]
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
=a(x-x1)(x-x2)
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发表于 2016-7-27 00:15:21