多边形内角和问题的求解技巧

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1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。
               例1  一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。
               分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。
               解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。根据题意，得
               

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               解得

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，即每个外角都等于40°。
               所以

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，即这个正多边形的边数为9。
          2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。
               例2  已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。
               解法1：设多边形的边数为n，依题意，得
       

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        解得n=8，即这个多边形的边数为8。
        解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。
        所以，多边形的边数

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，即这个多边形的边数为8。
          3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。解题时要注意这种逆向思维的运用。
        例3  一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。
        分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大。又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570°+180°小。可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的范围，再求边数。
        解：设这个多边形的边数为n，则内角和为（n－2）·180°。依题意，得
       

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        解这个不等式，得

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。
        所以n=17，即这个多边形的边数为17。
        说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件。
          4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。
               例4  如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。
       

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        图1
               分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。
               解：连接CF。
               ∵∠COF=∠DOE
               ∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC
               ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
               =∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
               =（5－2）×180°
               =540°
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