例谈线段与角的计算

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线段与角是初一几何最基本的概念，是同学们首先熟悉的简单图形，也是研究三角形、四边形、圆的基础。熟练掌握线段与角的大小比较及计算，是初一几何的重点和难点之一。下面介绍几类线段与角的计算方法，供同学们参考。
       
                一. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系
       
                例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。
       
               

19401AB3-0.gif

       
                图1
       
                分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。
       
                例2. 如图2所示，

19401A3R-1.gif

，

1940164291-2.gif

，

1940164922-3.gif

，求

1940161H2-4.gif

。
       
               

1940162925-5.gif

       
                图2
       
                分析：观察图形可知，已知量

1940163623-6.gif

，所求量

19401A455-7.gif

，根据已知的比例关系，

1940163557-8.gif

、

19401644W-9.gif

分别可用

19401B114-10.gif

、

19401CB7-11.gif

表示，从而可得到

1940161093-12.gif

与

的关系，求出

。
       
                二. 利用线段中点（角的平分线）性质，进行线段长度（角的大小）变换
       
                例3. 如图3所示，已知

19401B448-15.gif

，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，EB＝6cm，求CD的长。
       
               

19401610A-16.gif

       
                图3
       
                分析：观察图形可知

1940162620-17.gif

，C、E分别为AB、DB中点，AB、EB为已知，利用中点性质，可求出CB、DB，从而求出CD。
       
                例4. 如图4，AE为一条直线，OB平分

，OD平分

19401A120-19.gif

，求

的度数。
       
               

19401C192-21.gif

       
                图4
       
                分析：观察图形可知，所求量

，已知AE为一条直线，

19401A537-23.gif

，OB平分

，OD平分

，利用角的平分线的性质，

可用

表示，

可用

表示，从而求出所求量

       
                三. 根据图形及已知条件，列方程（组）求解
       
                例5. 如图5，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，

1940162191-31.gif

，求BC是AB的多少倍？
       
               

       
                图5
       
                分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又C为AD的中点，

，观察图形可知，

，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。
       
                例6. 如图6，已知OE是

的平分线，C是

内一点，若

，

，求

的度数。
       
               

       
                图6
       
                分析：观察图形可知，

由

、

、

三个角组成，利用OE是角的平分线，

，

，可列出三个方程，从而求得

。
       
                四. 设辅助未知量，列方程求解
       
                例7. 如图7，C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且

，求PQ的长。
       
               

       
                图7
       
                分析：根据比例关系及中点性质，若设

，则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形，已知量

，可转化成x的方程，从而求出x，然后再求出PQ。
       
                例8. 如图8，已知

是直角，

是锐角，OM平分

，ON平分

，求

的度数。
       
               

       
                图8
       
                分析：观察图形，

，图中

、

都与

有关，设

，则

、

都可用x的代数式表示，求出

。
       
                五. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性
       
                例9. 已知线段

，在直线AB上画线段

，求AC的长。
       
               

       
                图9
       
                分析：线段AB是固定不变的，而直线上线段BC的位置与C点的位置有关，C点可在线段AB上，也在线段AB的延长线上，如图9。
       
                例10. 已知

，过O点作射线OC，若

，且

，求

。
       
               

       
                图10
       
                分析：如图10所示，过O点作射线OC，OC既可在

内部，也可以在

外部，对应的

大小不同。
       
                综上所述，线段与角的计算，除选择适当的方法外，观察图形是其关键，同时还要注意规范书写格式，注意几何图形的多样性等，同学们可在不断地练习过程中去认真总结和体会。
       
                　
       
                　
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