为蚂蚁找捷径

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今天，我带大家去帮蚂蚁的忙，为它找捷径。大家知道捷径怎么找吗？我们可借助长方体（或圆柱体）的侧面展开图，通过运用勾股定理、两点之间线段最短等数学知识来解决这个问题。
       
                例1. 如图1，长方体的高为3cm，底面是正方形且边长为2cm。现有一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到达C点，蚂蚁行走的最短路线的长是（）
       
                A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm
       
               

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                图1
       
                分析：这类问题的解法通常都是将几何体表面展开，求展开图中有关两点之间的最短距离。大家一定要注意展开图中点的相应位置。本题可将该长方体的右表面翻折至前表面，使得A、C两点共面，如图2，连接AC，此时线段AC的长度即为最短路线的长（假如把上表面翻折至前表面，这时线段AC的长度是否为最短？请同学们考虑一下、比较一下）。
       
               

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                图2
       
                解：因为

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                所以蚂蚁行走的最短路线的长是5cm。选B。
       
                例2. 如图3，有一个圆锥，其高为8cm，底面直径为12cm。在圆锥的底面圆周上B点有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶点A处的食物，则它沿圆锥表面需要爬行的最短路程是（）
       
                A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm
       
               

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                图3
       
                分析：要求蚂蚁需要爬行的最短路程，由两点之间线段最短可知，线段AB的长就应当是蚂蚁爬行的最短路程。可设圆锥底面的圆心为O，连接OA、OB、AB，则可构成一个直角三角形，利用勾股定理即可求出AB的长。
       
                解：设圆锥底面圆心为O，连接OA、OB、AB，则△ABO是一个直角三角形，如图4，且

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。
       
                故

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                故蚂蚁需要爬行的最短路程是10cm。选C。
       
               

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                图4
       
                例3. 如图5，圆柱体的底面周长为24cm，高为5cm，BC为底面直径。一只蚂蚁从点A出发一直沿着圆柱体的侧面爬行到点C，它爬行的最短路程是（）
       
                A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm
       
               

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                图5
       
                分析：假设把这个圆柱体的侧面沿着AB剪开，摊平，连接AC，如图6，则A、C两点间的最短路线的长就是线段AC的长，也即为蚂蚁沿侧面爬完全程的最短路线的长。由题意可知AB=5cm，BC等于底面圆周长的一半，即BC=12cm。
       
               

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                图6
       
                故在Rt△ABC中，

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。故蚂蚁爬行的最短路程是13cm。选C。
       
                注：如果可以沿底面爬行，则沿A→B→C爬行路程还会更短，同学们可以算算。
       
                例4. 如图7，一个密封的长方体盒子ABCD�

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，长、宽、高分别为9cm、3cm、5cm。

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处有食物。甲蚂蚁从C处出发沿长方体表面爬行，同时乙蚂蚁从B处出发沿B→A→

的方向爬行，问：甲蚂蚁能否比乙蚂蚁先吃到

处食物（假设它们爬行的速度的大小一样）？请说明理由。
       
               

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                图7
       
                分析：由题意可知，乙蚂蚁爬行的方向已确定，路程也已定，但甲蚂蚁还有选择的余地，故此题的关键是寻求甲蚂蚁爬行的最短路线的长。
       
                解：如图8，将底面ABCD沿AB翻折，使之与

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处在同一个平面上，连接

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，则甲蚂蚁沿

爬行路程最短。
       
               

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故甲蚂蚁若沿

爬行，路程最短，为

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。
       
                乙蚂蚁爬行的路程为：

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                因为

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，故甲蚂蚁能比乙蚂蚁先吃到

处的食物。
       
               

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                图8
       
                注：对一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体，若其不在同一个表面的两个相对的顶点为A、B，则沿长方体表面的自A到B的最短路程可通过比较

其中相应两个的大小来求得。
       
                练一练：图9所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于165cm、30cm和18cm。A和B是这个台阶上的两个相对的端点。A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
       
               

       
                图9
       
                参考答案：
       
                219cm（提示：设想将整个三级台阶的表面展开、铺平，则A、B在同一个平面上，连接AB，AB的长即为所求）。
       
                  
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