巧用正负数难题迎刃解

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以下三个实际问题可巧妙地运用正负数来解。
       
                问题1：一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队。老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何）。能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能够的话，请你设计一种方案；如果不能够，请说明理由。（华东师大版《初一数学（上）》第57页读一读）
       
                分析：问题似乎与数学无关，却又难以入手，注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想像成进行一次运算，或者改变一次符号。能否联系有理数的知识进行讨论？
       
                让我们再发挥一下想像力：假设每个学生胸前有一块号码布，上面写“＋1”，背后有一块号码布，上面写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“＋1”的“乘积”是“＋1”。如果最后全部背向老师，则45个“－1”的“乘积”是“－1”。
       
                再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”。设想老师叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以（－1）”。
       
                这样问题就解决了，每次“运算”乘以6个（－1），即乘以了（＋1），故45个数的乘积不变，始终是（＋1），所以要乘积变为（－1）是不可能的。
       
                问题2：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？
       
                分析：因为杯口只有朝上、朝下两个方向，每次翻转相当于改变杯口朝向，所以可引入正负数来解答。
       
                解：设杯口朝上用＋1表示，杯口朝下用－1表示。则开始时七个数的乘积为＋1。
       
                因为每次翻转均改变四个数的符号，相当于四个数各乘以－1。
       
                所以其结果是七个数之积再乘以

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，其积仍为＋1，经有限次翻转后，这个结果保持不变。
       
                这与七只杯子都朝下时七个数之积为－1矛盾。
       
                由此得知：不能经有限次翻转，使七只杯子的杯口全部朝下。
       
                问题3：画一圆，沿圆周均匀地放上4枚围棋子，黑白都行。然后按下列规则变换。要是原来相邻的两个棋子颜色相同，在它们之间放上一个黑子；要是相邻的两个棋子的颜色不同，在它们之间放上一个白子，然后把原来的那四个棋子拿走，求证：不管原来那四个棋子颜色如何，最多只须经过四次变换，圆周上的四个棋子都会变成黑子。
       
                分析：乍看起来，这道题与数学关系不大，难点在于黑白子的分布没有规律，而且题目中也没有可供作数学运算的对象；看来，把问题转化成明确的数学问题是最关键的一步。
       
                仔细研究变换规则，作一些联想和对比，简单地说，变换规则是：相邻同色，中间放上黑子；相邻异色，中间放白子。这就使我们联想起乘法规则：同号相乘为正，异号相乘为负。因为只有白子、黑子之分，所以可用＋1代表黑子，－1代表白子，黑子与白子之间放一个白子。正好用

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来表示；
       
                两黑子之间及两白子之间放一黑子，正好用

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来表示，于是经过一次变换，即是用相邻的两个数相乘之后所得出的四个积来代替原来的四个数。
       
                设

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分别表示开始时圆周上均匀放置的四枚棋子。由于每一个棋子可能为白子，也可能为黑子，因此

中的每个数，即可能是＋1，也可能是－1，连接进行三次变换，可产生以下情况（如下表所示）：
       
               

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                因为

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                因此，经过三次变换后，四个数实际上都等于

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。
       
                如果这个数是1，那么已知全出现黑子。如果是－1，那么再进行一次变换，就会全部出现黑子，至此结论得证。
       
                为了更好地理解这一结论，不妨看一个具体例子。假设四个棋子中，三黑一白，如下图所示，果然不出四次变换，圆周上的棋子全是黑色的了。
       
               

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