根据结构特征 巧解方程（组）

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一、配方降次法
       
                经过配方变形，使之能开平方或分解因式，达到降次目的。
       
                例1 解方程：

140I4B39-0.gif

       
                解：左边以

140I41215-1.gif

作中间项进行配方，得

140I42304-2.gif

       
                即

140I43503-3.gif

       
               

140I41R7-4.gif

       
                例2 解方程：

140I42F9-5.gif

       
                解：将左边配方得：
       
               

140I44059-6.gif

       
                由非负数的性质得：

140I41958-7.gif

       
               

140I44363-8.gif

       
                二、配项运算法
       
                例3 解方程组：

140I44156-9.gif

       
                解：由(2)配项得：

140I445B-10.gif

       
               

140I42026-11.gif

得：

140I42014-12.gif

       
               

140I4J54-13.gif

得：

140I46102-14.gif

，

140I42112-15.gif

       
               

140I43954-16.gif

得：

140I4G41-17.gif

，

140I41144-18.gif

       
                经检验：

140I42b9-19.gif

是原方程组的解
       
                三、换元法
       
                例4 解方程：

       
                解：设

，原方程可化为：
       
               

       
                去分母整理，得：

       
                解得：

       
                于是

或

       
                解得：

，

，

，

       
                例5 解方程组：
       
               

       
                解：由(1)得：

　　　　　　　　　

       
                代入(2)得：


，
       
                设

，则

       
                解得

，

       
                经检验，原方程组有解：
       
               


       
                四、增元法
       
                例6 解方程：

       
                解：设

       
                由原方程可化为：

       
                由此可得方程组：

       
               

得：

       
               

或

，于是原方程可化为两个方程组：
       
               

或

       
                解以上两个方程组得原方程的解为：
       
               

，

，

，

       
                五、引入参数法
       
                例7 解方程组：
       
               

       
                解：设

       
                则有

       
                即

       
                两边平方并整理得：

       
               

，

       
                当

时，有

       
                当

时，有

（不合题意，舍去）
       
                经检验，方程组的解为

       
                六、韦达定理法（构造新方程法）
       
                通过变形，创造出符合韦达定理条件的二次方程来解。
       
                例8 解方程组：

       
                解：

得：

，

       
                代入(1)得xy=6，由韦达定理的逆定理知：
       
                x、y是方程

的两根。
       
               


       
                注：此法的关键是如何根据方程组特征变得

与xy都是常数。
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