运用转化思想解决数学问题

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转化思想和构造思想是数学中两大基本的数学思想，本文就是想利用转化思想最重要也是最有效的思想之一��转化为已能解决的问题来解竞赛题。本文以竞赛题目中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等问题为着手点，这些都是属于初等数论范畴，而且这些知识几乎在每年竞赛题中都会出现，包括高中数学联赛、冬令营、中国国家队选拔考试，乃至在IMO考试中都是必考的内容，所以大家应该对此给予重视。对于数论的学习，不能操之过急，应该首先把数论的基础知识和性质认真的系统的学习一遍，对竞赛中出现相应的题目进行反思，这一点是很重要的。我们一同来体会一下最近几年全国和各省市初中竞赛题目中常见的问题，如何把问题转化。
        例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。
        分析 我们不妨先求出三个互不相等的合数之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
        解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。
        当m>18时，若

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，则m>9
       

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        即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17
        此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。
        例2 求满足等式

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的正整数x、y。
        分析 此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2003，因为2003是质数，这也是一个信息。
        解：观察式子特点不难得出
       

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        故所求的正整数对（x,y）=（1，2003），（2003，1）
        此问题考察的重点在于因式分解。
        例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。
        分析 我们采取分析法，因为

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是一个完全平方数，所以设

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，再去推导n和a的关系，使问题不断得到解决。
        解：由已知

是一个完全平方数，所以我们就设

，显然

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不是3的倍数，于是

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，从而

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        即

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，所以k的最小值是3
        此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。
        例4 设

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为完全平方数，且N不超过2392。求满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有________对。
        分析 此题与例3有相似之处，但是要难一些。首先用到了性质8，然后再结合不等式解决此问题。
        解：

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，且23为素数，N为不超过2392的完全平方数
       

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        所以共有（1，19），（2，15），（3，11），（4，7），（5，3）以及（1，88），（2，84），…，（22，4）
        故满足条件的（x,y）共有5+22=27对
        此问题用到了数论里常用的方法��不等式法。把一个整数问题转化为不等式问题，就会求出上（下）界，从而限定出所求数的范围，同时又是整数，故而使问题得以解决。
        例5 已知方程

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的根都是整数，求整数n的值。
        分析 已知方程的根是整数，所以先把根求出来

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，所以根号下的数就应该是完全平方数，故此问题得以解决。
        解：由求根公式解得

        因为方程的根都是整数
        所以

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是完全平方数
        设

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，则有
       

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        所以，分别解得整数n的值为10，0，－18，－8
        此题的难点在于知道

是完全平方数之后，如何分解它，实际上是在解一个不定方程问题。
        例6 设四位数

是一个完全平方数，且

，求这个四位数。
        解：设

       

        由于67是质数，故

与

中至少有一个是67的倍数
       

       

       

        此问题值得注意的是我们在设未知数的时候，采取整体代换，即把

看成整体，从而使问题简化。
        例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
        分析 此类型问题在考试中出现多次，它的方法基本上是设出之后做差

，然后运用平方差公式分解，最后去解不定方程

。
        解：设此自然数为x，依题意可得
       

        但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是

        解之，得n=45。代入(2)得

。故所求的自然数是1981。
        此问题是比较典型的，两个式子三个未知数，感觉没有办法解决，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和，来发现其中的奥妙。
        在解决数学问题时，我们要以不变（知识）去应万变（问法），不断去探索，有时候我们可以用特值去验证结论，这样就会有一个大致的方向，再通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。
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