蚂蚁觅捷径

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“蚂蚁觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神。现选取几例供大家参考。
        例1 如图1，一只蚂蚁要从棱长为1的正方体的一个顶点A沿着表面爬到与它相距最远的另一个顶点G。蚂蚁爬行的最短路程是多少？
       

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        图1
        分析解答：解答“蚂蚁觅捷径”问题最关键的就是确定最短爬行路线。对于本题，有的同学可能会认为最短路程是

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或

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等。这些都是错误的。
        本题要求同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿FG、GC、BC剪开，使面BCGF与面ABFE在同一个平面内，如图2所示，你会发现最短路程就是

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的斜边AG之长（两点之间线段最短）。利用勾股定理易得

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，所以蚂蚁爬行的最短路程为

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。
       

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        图2
        不过，路线可不止一条，你还能再找出来吗？
        我们不难发现，若正方体的棱长为a，最短路程就是

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。当蚂蚁在正方体内时，最短路线有6条，它们都同样是

。
        例2 如图3，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？
       

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        图3
        分析解答：通过解答例1给我们的启发，对此问题，将有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。
        （1）剪开FG、GC、CB铺平得

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。
        （2）剪开HG、GC、CD铺平得

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。
        （3）剪开EF、FG、GH铺平得

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。
        （4）剪开FB、FG、CG铺平得

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。
        （5）剪开FG、GH、HE铺平得

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。
        （6）剪开DH、HG、GC铺平得

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。
        因此最短路程为

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，这样的路线有两条。
        由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且

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时，最短路程就是

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。
        例3 如图4，一只蚂蚁绕圆柱一周从母线AB的端点A爬到B点。若圆柱的高为

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，底面半径为2，求蚂蚁爬行的最短路程。
       

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        图4
        分析解答：将圆柱侧面沿母线AB剪开展平得图5，则蚂蚁沿图5中的路线AB”爬行是最短路线。在

中，

，由勾股定理得

。这样的路线有两条。
       

        图5
        想一想，如果蚂蚁从图4中的A点出发，沿圆柱侧面爬到上底面的C点，你能求出最短路程吗？这样的路线有几条？
        例4 如图6，一个圆锥底面半径为10，母线长为30，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行一周回到A点，所走过的最短路程是多少？
       

        图6
        分析解答：把圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图7，则所求最短路线就是图7中线段

的长度。
       

        图7
        因为

        所以

。
        在Rt△ABC中，已知

，

，
        由三角函数知识或勾股定理均可得到

。其路线有两条。
        例5 如图8，已知圆锥底面半径为5，母线长为20。一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面绕行一周到母线AB中点C处，它爬行的最短路程是多少？
       

        图8
        分析与解答：将圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图9，则所求长度为图9中AC的长。
       

        图9
        在△ABC中，

。
        已知

，根据勾股定理得

。路线同样有两条。
        想一想，当其条条件不变，如果∠ABC是锐角或钝角，你能求出最短路程吗？如果告诉圆锥底面半径和高，你还能求出最短路程吗？不妨试一试。
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