巧旋转妙解题

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一个图形围绕某一点由一个位置转到另一个位置的运动叫旋转，这个点叫做旋转中心。确定图形旋转的三个要素是：旋转中心、旋转方向、旋转角度。图形旋转的主要特征是：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小没有发生变化。
        我们在解题中运用图形旋转的主要目的是：把给定的图形（或其中的一部分）绕某一点旋转后，图形会发生新的组合，重组后的图形能把题目中的条件相对集中，从而使问题得到解决。下面举例说明运用图形旋转法解题的常用技巧。
        一、三角形中的旋转技巧
        1. 当条件中出现三角形某边的中点时，可将某图形绕此中点旋转180°。
        例1. 如图1，在△ABC中，D是AB的中点，E、F分别是BC、AC上的点。
        求证：

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        图1
        分析：由于△ADF与△BDE不在一起，因此，我们只需将△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG，使其与△BDE组成一个四边形BEDG，从而使问题得到解决。
        证明：把△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG，其中B与A、G与F分别是对应点，则△BDG≌△ADF。于是
       

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        ∵D是AB的中点
        ∴D也是GF的中点，故

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        ∵

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        2. 当条件中的三角形是等腰三角形时，可将含有该等腰三角形一腰的图形，绕着等腰三角形的顶角顶点进行旋转，使得两腰重合。
        例2. 如图2，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，DC＞DB。
        求证：∠ADB＞∠ADC
       

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        图2
        分析：由于已知两边的大小关系，与要证的两角的大小关系没太大联系，因此我们需要将图形进行适当旋转，使图形发生重组，然后再探究它们的内在联系。
        证明：把△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC，得△ACE，连DE
        则AE＝AD，EC＝BD
        ∠AED＝∠ADE，∠AEC＝∠ADB
        在△DEC中，∵EC＝BD
        ∴DC＞EC
        ∴∠DEC＞∠EDC
        ∴∠AEC＞∠ADC，故∠ADB＞∠ADC
        3. 当条件中的三角形是等边三角形时，可将含有该等边三角形一边的图形，绕着等边三角形的顶点进行旋转，使其与另一边重合。
        例3. 如图3，等边△ABC中，O为其内一点，且OA＝3，OB＝5，OC＝4，求∠AOC的度数。
       

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        图3
        分析：直接求∠AOC的度数显然很困难。注意到条件中的三边长恰是一组勾股数，因此考虑把这三边集中到一个三角形内，可以构造出一个直角三角形，然后再求角度。我们只要把△ABO绕点A旋转60°即可。
        解：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD，连结OD，则
        AD＝AO＝3，DC＝OB＝5，∠CAD＝∠BAO
        ∴∠DAO＝∠CAB＝60°
        △AOD为等边三角形
        ∴∠AOD＝60°，OD＝3，在△ODC中，
        ∵OD＝3，OC＝4，DC＝5
        ∴∠COD＝90°
        ∴∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝150°
        二、多边形中的旋转技巧
        一般而言，当题目给出的图形是多边形时，我们常先把其分割成（特殊）三角形，再应用三角形的旋转技巧进行解决。
        1. 当条件中的多边形有两相等的邻边时，常把含其中一边的三角形进行旋转，使其与另一等边重合。
        例4. 如图4，五边形ABCDE中，AB＝AE，

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，∠BAE＝∠BCD＝120°，∠ABC＋∠AED＝180°，连结AD。
        求证：AD平分∠CDE
       

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        图4
        分析：注意到

，但BC、DE两条线段不在同一直线上，这是本题的关键。由于AB＝AE，如果连结AC，我们把△ABC绕点A旋转，可以使BC、DE移到一起，从而把问题解决。
        证明：连结AC，把△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AEF，则
        ∠AEF＝∠ABC，EF＝BC，AF＝AC
       

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        ∴D、E、F三点共线
       

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        ∴△ADF≌△ADC
        ∴∠ADF＝∠ADC，即AD平分∠CDE
        2. 当条件中的多边形有直角时，常先构造直角三角形，再把这个三角形进行旋转。
        例5. 如图5，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积为18，求DP的长。
       

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        图5
        分析：注意到△ADP为直角三角形
        而AD＝CD，因此可把△ADP绕点D旋转，把原图形进行分割重组，使问题得到解决。
        解：将△ADP绕点D逆时针旋转90°得到△CDE，则△CDE≌△ADP
       

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        ∴B、C、E三点共线
        又∵DP＝DE
        ∠DPB＝∠ABC＝∠CED＝90°
        ∴四边形PBED是正方形
       

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        故

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        3. 当条件图形中出现正方形时，常把含有正方形一边的直角三角形，绕正方形顶点旋转90°，使该边与另一边重合。（可以看成是前两种类型的特例）
        例6. 如图6，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ。
       

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        图6
        分析：注意到正方形的特征：四边相等，四个内角为直角。我们可以把△DCQ绕点C逆时针旋转90°，使图形发生重组，利于应用△APQ的周长为2这个条件。
        解：将△DCQ绕点C逆时针旋转90°得△BCE
        则△DCQ≌△BCE，BE＝DQ，CE＝CQ，∠ECQ＝90°
       

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        ∴△QCP≌△ECP
       

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        通过以上几例的分析，相信大家对图形的旋转技巧有了一定的了解，希望同学们能在理解的基础上熟练应用。当然关于图形的旋转技巧不止以上几种，这需要大家在学习中去发现、去总结。
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