中学趣味数学：安东尼的名次

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　　安东尼、伯纳德和查尔斯三人参加了几项田径比赛。
       
                　　（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。
       
                　　（2）并列同一名次者，都得到与该名次相应的分数。
       
                　　（3a）把每人在撑竿跳、跳远和跳高比赛中的得分加起来得到一个个人总分，结果这三人的个人总分都一样。
       
                　　（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等。
       
                　　（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。
       
                　　（5）安东尼和查尔斯在跳远比赛中得分相同。
       
                　　（6）安东尼和伯纳德在跳高比赛中得分相同。
       
                　　（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。
       
                　　在撑竿跳比赛中，安东尼得了第几名？
       
                　　（提示：找出一个每一行的和与每一列的和都相等的3×3方阵，即可判定出安东尼在撑竿跳比赛中的名次。为此，用代数方法表示安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分，以及安东尼和伯纳德在跳高比赛中的得分。）
       
                答　案
       
                　　这三人在三项比赛中的得分可以记入如下的3×3方阵：
               
       

	撑竿跳比赛	跳远比赛	跳高比赛
安东尼
伯纳德
查尔斯

        　　根据（3a）和（3b），这个方阵中每一行的和与每一列的和必须都等于同一个数。根据（2）和（5），设安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分为b。根据（2）和（6），设安东尼和伯纳德在跳高比赛的得分为h。根据（l）和（2），b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h组合起来共有十六对可能的数值。
       
                 
       
                　　如果b＝h（即两者同时是0、1、2或3），则为了满足（3a）和（3b），方阵变成：
               

a	b	b
b	a	b
b	b	a

               
                　　这种情况与{（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。}矛盾，因而是不可能的。
       
                　　如果b＝0而h不等于0（b＝0，h＝1；b＝0，h＝2；b＝0，h＝3），则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
       
                 
       

－	0	h
－	2h+a	h
－	0	a

        　　为了满足{（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等}，第二行的和必须等于每一列的和。但是第二行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。
               
                　　如果h＝0而b不等0（b＝l，h＝0；b＝2，h＝0；b＝3，h＝0），则为了满足（3b），第三列的和必须等于第二列的和。
       
                 
       

－	b	0
－	a	0
－	b	2b+a

               
                　　为了满足（3b），第三行的和必须等于每一列的和。但是第三行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。
       
                　　如果b＝l，h＝3，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
       
                 
       

－	1	3
－	a+4	3
－	1	a

               
                　　这种情况与{（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。}矛盾，因为a不能小于0，从而a＋4至少等于4。（再者，第二行的和已经大于所示的任何一列的和，这与（3b）矛盾。）因此这种情况是不可能的。
       
                　　如果b＝3，h＝l，则为了满足（3b），第三列的和必须等于第二列的和。
               

－	3	1
－	a+2	1
	a	a

        　　这种情况与前一种类似，所以是不可能的。
               
                　　如果b＝2，h＝3，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
       
                 
       

－	2	3
－	a+2	3
－	2	a

        　　为了满足（3b），第三行的和必须等于每一列的和。于是，查尔斯在撑竿跳比赛中必须得到4分，但这与（l）矛盾。因此这种情况是不可能的。
       
                 
       
                　　如果b＝3，h＝2，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
       
       

－	3	2
－	a	2
－	3	a+2

               
                　　这种情况与前一种类似，所以是不可能的。
       
                　　如果b＝1，h＝2，或者b＝2，h＝1（它们是剩下的仅有可能），则为了满足（3a）和（3b），方阵变成下列二者之一：
       
                 
       

a+1	1	2
0	a+2	2
3	1	a

               
                　
       

a+1	2	1
3	a	1
0	2	a+2

       
                 
       
                　　本题的要求是求出a＋l的值（这是上述两个方阵中唯一相同的记录）：a不能大于0，否则与{（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。}矛盾；因此a必须等于0。于是a＋l＝l。
       
                　　由于1分是第三名的得分，所以安东尼在撑竿跳比赛中得了第三名。
       
                　　总结起来，得分的情况是下列二者之一：
               

	撑竿跳比赛	跳远比赛	跳高比赛
安东尼	1	1	2
伯纳德	0	2	2
查尔斯	3	1	0

               
                 
       

	撑竿跳比赛	跳远比赛	跳高比赛
安东尼	1	2	1
伯纳德	3	0	1
查尔斯	0	2	2