中学趣味数学：被墨水盖住的算式

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如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。然而，只要你有心，也可以破译一些简单的密码。
       
                　　现在我们来看一个例子：
       
                　　据传说，英国物理学家牛顿（1642－1727）小的时候，学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下决心改变这一令人沮丧的状况。有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发生了：墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。下图显示了这个令人不快的结果。
       
                　　

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                　　式中只剩下了3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。
       
                　　如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗？
       
                　　由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为：
       

28？                                                                                         　　+？？4                                                                                         　　────—                                                                                         　　？？？？

       
                 
       
                 
       
                　　我们可以把这个算式写成：
       

28A                                                                                         　　+CB4                                                                                         　　────—                                                                                         　　GFED

       
                 
       
                其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。
       
                　　我们先考虑千位上的G。两个三位数相加，和是四位数，由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1，所以，G只能是1，这时，算式就成了：
       

28A                                                                                         　　+CB4                                                                                         　　────                                                                                         　　1FED

       
                 
       
                 
       
                　　再看百位上的C和F。如果要保证向千位进1，C不能小于7，即C只可能是7或9中的一个。
       
                　　设C=9，那么如果十位不进位到百位，F=1；如果十位进位到百位，F=2。这都和已知的数字重复。所以C≠9。
       
                　　所以C=7，F=0。即
       

28A                                                                                         　　+7B4                                                                                         　　────                                                                                         　　10ED

       
                 
       
                这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。
       
                　　如果B=3，那么应有E=1或2，但这不可能；
       
                　　如果B=5，那么E=3，但6+4≠9，9+4≠6；
       
                　　如果B=6，那么E=5，这时令A=9，则有D=3。
       
                　　整理出来就是：
       
                　　A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。
       
                　　于是，小牛顿的算式应为：
       
               

289                                                                                                         　　+764                                                                                                         　　────                                                                                                         　　1053