有限电阻网络的解法

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1. 等效替代
            例1  三个相同的金属圈两两正交地连成如图1所示的形状，若每个四分之一圆周金属丝的电阻为R时，测得A、B间电阻为RAB，今将A、B间的一段金属丝改换成另一段电阻为

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的四分之一圆周金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率P。
       

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        图1
            分析  A、B间一段电阻为

的四分之一圆周金属丝，可用两段电阻为R的四分之一圆周金属丝并联来替代。设替换后A、B间的总电阻为

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，则
            

162P95Y0-4.gif

，

162P95525-5.gif

，

162Pab1-6.gif

。
        2. 叠加
        例2  如图2所示电路中，包含有50只不同的安培表

162P92a0-7.gif

，以及50只相同规格的伏特表

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。其中第一只伏特表

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的示数

162Pa039-10.gif

，第一只安培表A1的示数

162P932b-11.gif

，第二只安培表A2的示数I2=9.2mA。试求所有50只伏特表的示数之和是多少？
       

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        图2
            分析  每只伏特表的电阻
            

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            从电路左端逐步向右推可得
            

162P91R0-14.gif

            

162P92O7-15.gif

            ……
            

162P92293-16.gif

            

162PaE1-17.gif

            以上各式相加得
            

162Pa0Z-18.gif

            

162P953X-19.gif

            3. 递推
        例3  如图3所示，已知

162P91E6-20.gif

，

，电源电压为60V，流过

的电流为_______________。
       

        图3
            分析  右端的单位网络电阻

            往左推得

，
            整个网络的电阻

，
            总电流

            求

中的电流，可由左逐步向右推
            

            4. 对称
            例4  如图4（甲）所示是由9个阻值均为4Ω的电阻连成的电路，现在A、B两点之间加上8V的电压，则流过接在E、B两点之间的电阻的电流I1为_________A，流过接在E、D两点之间电阻的电流I2为__________A。
       

        图4（甲）
            分析  这是一个对称电路，在不改变通过各电阻电流的前提下，可拆开某一节点，或连接部分节点，对电路进行等效变换。
            解法1  拆开节点E，如图4（乙）所示。通过E、B之间电阻的电流为
            

            又

            解得

            所以

            

       

        图4（乙）
            解法2  将C、D间的电阻一分为二，由于电路的对称性，可将F、G、E三点连在一起，如图4（丙）所示。
       

        图4（丙）
            

            

            设F、G、E节点与D之间的总电阻为

，则
            

            解得

            

            

            5. 注流法
        例5  图5（甲）是由均匀电阻丝焊接成的框架电路，框架由三个正方形组成，正方形每边的电阻为r，求框架A、E两点间的电阻。
       

        图5甲
            分析  设有电流I从A点流入，从E点流出。由于电路结构对称，则电流分布也对称，如图5乙所示
       

        图5乙
            对点H，有

            即

      ①
        对AC间电压有

        即

          ②
        联立①、②解得

        所以

       

        练习
        1. 如图6所示的电路，

，

，电源电压U恒定，则电阻

所消耗的电功率与电路的总功率之比等于____________。
       

        图6
        2. 如图7所示的方格导线网，每边的电阻均为r，求A、B两点间的电阻。
       

        图7
        3. 12个电阻组成立方体，每个电阻的阻值为R，如图8所示。求：
        （1）A、B间的电阻；
        （2）A、G间的电阻。
       

        图8
        答案：
        1.

        2. 2r
        3. （1）

；（2）

。