2014年中考数学二轮复习：探究型问题解答技巧

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所谓存在性探究、探索题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题。这类问题构思巧妙，对考察学生思维的敏锐性、推理的严密性具有独特的作用。存在性试题近年来频繁出现在中考试卷及各类竞赛考试中，主要以解答题的形式出现，其内容涉及到代数、几何等各知识点。
        　　对存在性探索问题的解法思路一般是：先假设结论的某一个方面成立，通过结合已知条件数学公式、定理进行演算、推理论证，得到某一结论。如果推理、演算得到的结论与某个已知条件、某个公式、定理相矛盾，说明我们前面的假设不成立；若通过推理、计算，得到的结论符合已知条件、公式、定理（包括客观的事实），说明我们前面的假设成立；整个过程可以概括为：“假设………推理…………否定或肯定结论…………得到结论”
        　　例1：如图所示，已知A(1，0)、B，C、D为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作⊙A。直线CD切⊙A于D点，连结OD。
        　　（1）求点D的坐标；
        　　（2）求经过O、B、D三点的抛物线解析式；
        　　（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由。
        　　分析：本例中第（3）小题是结论探索型题目。欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A上，进而证明该点满足条件ΔDCP∽ΔOCD。从几何入手，可先考虑⊙A与x轴的另一交点（设为F）。不难证明ΔDCF∽ΔOCD。再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知F即为P点。
        　　解：（1）连结AD，则AD⊥CD于D，作DE⊥OA于E。
        　　∵点A坐标为（1，0），且OC=2OA，∴AC=3，
        　　∵sin∠ACD=，∴sin∠ADE=，
        　　∴AE=，因而OE=1－=，
        　　∴DE=，
        　　∴D点坐标为().
        　　（2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0，0)、B()、D()，
        　　则C=0，且解得：，
        　　∴所求的抛物线的解析式为y=-x2+x.
        　　（3）设⊙A与x轴的另一个交点为F(2，0)，连结DF，
        　　∵CD切⊙A于D，∴∠CDO=∠CFD，
        　　又∠DCO=∠FCD，∴ΔOCD∽ΔDCF，
        　　将x=2代入y=-x2+x中，得y=0，
        　　∴F（2，0）在抛物线上，∴点F即为所求的P点，
        　　∴抛物线y=-x2+x上存在一点P，使ΔPCD∽ΔDCO。
        　　说明：本例并未要求判断结论的唯一性，若存在，找到一个就可以了，在这里，观察、分析，采用合情推理进行判断起了关键作用。
        　　例2已知点A(-1，-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上。
        　　（1）求抛物线的对称轴。
        　　（2）若B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。
        　　分析：（1）用待定系数法确定函数解析式，从而求抛物线对称轴。
        　　（2）由轴对称性可求B点坐标。结合图形进行综合分析，利用解方程组判定直线的存在性。
        　　解答：（1）∵A(-1，-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上，
        　　∴-1=k2-1+2(k-2)+1，k2+2k-3=0，
        　　∴k1=1，k2=-3，
        　　∵k2-1≠0，∴k1=1(舍去)，∴k=-3.
        　　∴y=8x2+10x+1，得对称轴为x=-.
        　　（2）∵B点与A点关于x=-对称，
        　　∴B点坐标为(x，-1)，且B点在抛物线上，
        　　由(1)知，抛物线为y=8x2+10x+1.
        　　∴-1=8x2+10x+1，4x2+5x+1=0，
        　　∴x1=-1，x2=-，
        　　∴B点坐标为(-，-1).
        　　(i)假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于一点B，则-1=-m+n，即
        　　m-4n=4.............①
        　　又由只有一个实数解，
        　　得8x2+(10-m)x+1-n=0
        　　∵Δ=0，
        　　∴(10-m)2-32(1-n)=0...........②
        　　由①，②解得∴y=6x+.
        　　(ii)当直线过B(-，-1)且与y轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线为x=-.
        　　∴符合条件的直线为y=6x+，x=-.
        　　误区：误认为与抛物线只有一个公共点的直线只有y=6x+或x=-.
        　　说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在。一般的求解方法是：假设结论存在，如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在。探求存在型试题可以考查学生的判断能力和发现问题、解决问题的能力