第十五讲 相似三角形(一)

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两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
　　关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．
　　[B]例[/B][B]1 [/B]如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

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　　[B]分析[/B] 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
　　[B]解[/B] 在△ABC中，因为EF∥AB，所以

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　　同样，在△DBC中有

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　　①＋②得

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　　设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

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　　[B]说明[/B] 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题

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　　请同学自己证明．
　　[B]例[/B][B]2[/B] 如图2-65所示．

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ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．

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　　[B]分析[/B] 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．
　　[B]解[/B] 过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以

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　　在△FOG中，由于GO∥EB，所以
　　

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　　[B]例[/B][B]3[/B] 如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分

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　　[B]分析[/B] 因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
　　[B]证[/B] 过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
　　又
∠BAD=∠EDA=60°，
　　所以△ADE是正三角形，所以
　　EA=ED=AD． ①
　　由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
　　

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　　由①，②得

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　　从而

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　　[B]例[/B][B]4[/B] 如图2-67所示．

ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：

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　　[B]分析[/B] 与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
　　[B]证[/B] 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以

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　　在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
　　所以 △OED≌△OBH(AAS)．
　　从而
DE=BH=AI，
　　

　　[B]例[/B][B]5(梅内劳斯定理) [/B]一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求


　
　　[B]分析[/B] 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．
　　[B]证[/B] 过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知
　　

　
　　[B]说明[/B] 本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．
　　[B]例[/B][B]6 [/B]如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

　　[B]分析[/B] 由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：
　　

　　进而求d．
　　

　　因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而

　　将②代入①左端得

　　因为
　　DE=PE＋PD=AI＋FB， ④
　　AF=AI＋FI， ⑤
　　BI=IF＋FB． ⑥
　　由④，⑤，⑥知，③的分子为
DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
　　从而

　　即

　　下面计算d．
　　因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得

　　解得d＝306．
[B]
练习十五
[/B]
　　1．如图2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

　　2．已知P为

ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q


　　3．如图 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．


　
　　4．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)．求证：
　　

　　5．如图 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．

　　6．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：
　　


　
　　

不少于2．