第十六讲 相似三角形(二)

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上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用．
　　[B]例[/B][B]1 [/B]如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
　　[B]分析[/B] 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．

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　　[B]证[/B] 过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以
∠2=∠3．
　　从而∠1=∠3，AB=BE．显然
△BDE∽△CDA，
　　所以 BE∶AC=BD∶DC，
　　所以 AB∶AC=BD∶DC．
　　[B]说明[/B] 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．
　　在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法．
　　[B]例[/B][B]2[/B] 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
　　[B]分析[/B] 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．

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　　[B]证[/B] 过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以
∠BAE=∠CAE．
　　因为BG∥AC，所以
∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，
　　所以 BA=BG．
　　又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以
∠ABF=∠HBF，
　　从而
AB∶BH=AF∶FH．
　　又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而
BH=AC，
　　所以 AB∶AC=AF∶FH．
　　因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以
　　AB∶AC=BE∶EC，
　　所以 AF∶FH=BE∶EC，
　　即
　　(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为
AM∶MB=FM∶ME．
　　在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以
△MEF∽△MAB
　　(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以
∠ABM=∠FEM，
　　所以 EF∥AB．
　　[B]例[/B][B]3 [/B]如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
　　

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　　即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．
　　注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．
　　[B]证[/B] 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．
　　设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则
∠A+∠B+∠C=7α=180°．
　　由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以
∠ACE=180°-4α＝3α，
　　所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
　　从而
∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．
　　又由作图
AE=AC，AE=BD，
　　所以 BE=BD，
　　△BDE是等腰三角形，所以
∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，
　　所以 △ABC∽△DAE，

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　　所以

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　　[B]例[/B][B]4 [/B]如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH.
　　[B]分析 [/B]要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似．
　　[B]证[/B] 在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以
∠PBC=∠PHB=90°，
　　从而 ∠PBH=∠PCB．
　　显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以

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　　由已知，BP=BQ，BC=DC，所以

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　　因为∠ABC=∠BCD=90°，所以
∠HBQ=∠HCD，
　　所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．
　　又因为
∠BHQ＋∠QHC=90°，
　　所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，
　　即 DH⊥HQ．
　　[B]例[/B][B]5[/B] 如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：
PB2＋QC2=PM2＋QM2．
　　[B]分析与证明[/B] 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则
PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．
　　于是求证式等价于
PB2+QC2=PA2+QA2， ①

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　　等价于
PB2-PA2=QA2-QC2． ②
　　因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有
AD=BD，AE=CE，
　　②等价于
(AD＋PD)2-(AD-PD)2
　　=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2， ③
　　③等价于
AD?PD=AE?EQ． ④
　　因为ADME是矩形，所以
AD=ME，AE=MD，
　　故④等价于
ME?PD=MD?EQ． ⑤
　　为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．
　　下面我们来证明这一点．
　　事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME为矩形，所以
∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥
　　在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即
∠PMD=∠QME． ⑦
　　由⑥，⑦，所以
△MPD∽△MEQ．
　　由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．
　　[B]例[/B][B]6[/B] 如图2-81所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长．

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　　[B]解[/B] 取AF的中点G，连接DF，EG．由平行线等分线段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以
△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．
　　

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　　所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以
FM=3(厘米)．
　　又在△BDF中，E是BD的中点，且EH∥DF，所以
　　

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　　因为EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，从而
　　

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　　显然，H是BF的中点，所以
　　

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　　故所求的三条线段长分别为
　　

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[B]
练习十六
[/B]
　　1．如图2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
　　2．如图2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．

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　　3．如图2-84所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：

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PB2＝PA?PC．
　　(提示：设法证明△PAB∽△PBC．)
　　4．如图2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AE∶EB=2∶1．求证：CE⊥AD．
　　5．如图2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE?EC．
　　6．在△ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．